6) Esboce o gráfico das funções abaixo (onde z = f x , y ):

(c) z = 3 x 2 + 3 y 2

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema queremos esboçar o gráfico da superfície formada pela equação z = 3 x 2 + 3 y 2 .

Parece complicado? 😐

Para esboçar uma superfície que não conseguimos visualizar logo de cara como é seu comportamento, podemos usar algumas técnicas para nos ajudar.

Como por exemplo podemos encontrar curvas de níveis ou intersecç��es da superfície com um plano, assim, desenhando a curva formada no plano de intersecção podemos obter algo parecido com algumas estruturas da superfície e portanto, ter uma ideia de como é o gráfico de z .

Sacou? Bora começar! 😎

Passo 2

A superfície que vamos esboçar é dada por

z = 3 x 2 + 3 y 2

Fazendo z = c , sendo c o nível das curvas de níveis, temos

c = 3 x 2 + 3 y 2

3 x 2 + 3 y 2 = c 2

x 2 + y 2 = c 2 3

A partir dessa equação podemos perceber que as curvas de níveis serão circunferências com raio c / 3 .

Por exemplo em c = 3

x 2 + y 2 = 3 2 3 → x 2 + y 2 = 3

E também em c = 5

x 2 + y 2 = 5 2 3 → x 2 + y 2 = 25 3

Agora voltando para a primeira equação e fixando x = 0 , vamos obter a intersecção entre a superfície e o plano x = 0

z = 3 0 2 + 3 y 2 → z = 3 y

Fazendo o mesmo agora para y = 0

z = 3 x 2 + 3 0 2 → z = 3 x

Tranquilo até aqui? 😐

Passo 3

Esboçando cada curva em seus devidos planos e níveis, vamos obter

Dessa forma, podemos ter uma ideia de como a superfície se comporta no espaço.

A partir das curvas, podemos imaginar que a superfície se pareça com um cone de cabeça para baixo, ou seja

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

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