2) Representar no plano cartesiano as curvas de nível das funções abaixo correspondentes aos valores de nível c dados

(f) f x , y = 1 x 2 + y 2 , c = 1 4 , c = 4 e c = 9 .

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema, temos que calcular e esboçar no plano cartesiano as curvas de níveis solicitadas da função f x , y .

Tem ideia de como fazemos isso? 😬

Para esboçar a curva de nível de uma função, temos que igualar f x , y a c , onde c representa a curva de nível que vamos substituir.

Na prática, temos uma função tridimensional e c é o plano paralelo ao plano x y de altura c em z . Esse plano corta a função em algum momento e esse corte gera uma curva bidimensional, sendo essa curva nossa curva de nível!

Sacou? Bora começar! 😎

Passo 2

A função foi dada como

f x , y = 1 x 2 + y 2

E os níveis que vamos obter são c = 1 4 , c = 4 e c = 9 .

Igualando f x , y = c , temos

f x , y = 1 x 2 + y 2 = c

1 = c x 2 + y 2

x 2 + y 2 = 1 c

Perceba que essa equação é muito parecida com a equação da circunferência centrada na origem, x 2 + y 2 = r 2

Dessa forma, podemos imaginar que nossas curvas de níveis serão circunferências com raio 1 / c .

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Agora vamos obter as curvas solicitadas no enunciado...

Para c = 1 / 4

x 2 + y 2 = 1 1 / 4 → x 2 + y 2 = 4

Para c = 4

x 2 + y 2 = 1 4

E para c = 9

x 2 + y 2 = 1 9

Esboçando essas curvas no plano cartesiano, vamos obter

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

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