Considere a função z = f x ,   y = e - x 2 + y 2 .

b) Obtenha as curvas de nível f x ,   y = k . Quais são os valores de k permitidos? Por quê?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar as curvas de nível de f x ,   y = k da função e os valores de k que são permitidos, ou seja, os níveis que a função pode assumir.

As curvas de nível nada mais são do que a interseção do gráfico z = f ( x ,   y ) com um plano z = k (onde k é uma constante). Ou seja, é o conjunto de todos os pontos de z nos quais o valor de z é k . Então, vamos igualar a função à constante e verificar os valores possíveis.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar igualando nossa função f x ,   y = e - x 2 + y 2 a k :

e - x 2 + y 2 = k

Aplicando o logaritimo natural dos dois lados, temos:

ln ⁡ e - x 2 + y 2 = ln ⁡ k

Como a exponencial é a função inversa do logaritmo, vamos obter:

- x 2 + y 2 = ln ⁡ k

Multiplicando os dois lados por - 1 :

x 2 + y 2 = - ln ⁡ k

O domínio da função logarítmica é o conjunto dos números reais positivos, porque não é possível calcular logaritmos de um número negativo tendo uma base positiva. Além disso, o valor de k também não pode ser zero, porque o logaritmo de zero é indefinido. E nesse caso, ele vai até 1 , porque esse é um valor de máximo pra nossa função.

Dessa forma, os valores permitidos de k permitidos estão no intervalo:

0 < k ≤ 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

0 < k ≤ 1