Determine o domínio da função dada e represente-o graficamente. Esboce duas curvas de nível para cada função.

e )   f x , y , z = z 4 x 2 - y 2

Passo 1

Eaí galera, como vocês estão?

Nessa questão recebemos a função de três variáveis dada por:

f x , y , z = z 4 x 2 - y 2

Sobre essa função precisamos determinar o seu domínio e representar o conjunto desse domínio graficamente. Além disso, também precisamos esboçar duas curvas de nível dessa função.

Beleza?!

Tá, mas vamos com calma em cada uma dessas coisas. Primeiramente, vocês lembram o que é o domínio?

Então, nada mais é do que o conjunto de pontos ( x , y , z ) que podem servir de entrada na nossa função sem que a gente tenha algum absurdo matemático. Ou seja, na prática precisamos verificar os pontos ( x , y , z ) que são restrição na nossa função.

Já as curvas de nível, aqui na verdade teremos superfícies de nível, pois temos uma função de 3 variáveis. Podemos calcular igualando a função f ( x , y , z ) a uma constante, tipo assim:

z 4 x 2 - y 2 = c

Daí, o enunciado nos pede para colocar dois valores pra essa constante c e esboçar a superfície formada.

Show de bola! Vamos começar analisando se tem alguma restrição no domínio da nossa função e depois esboçamos o conjunto e as superfícies de nível!

Vem comigo 😊

Passo 2

Começando pelo domínio, temos a função:

f x , y , z = z 4 x 2 - y 2

Como trata-se de uma fração, a única restrição que vamos ter é o denominador diferente de zero. Assim:

4 x 2 - y 2 ≠ 0

∴ y 2 ≠ 4 x 2

⇒ | y | ≠ 2 | x |

Assim, o conjunto de pontos que não podem pertencer ao domínio da nossa função, s��o os pontos do tipo:

x , 2 x , z

Ou seja, o plano dado por:

y + 2 x = 0

Assim, o nosso domínio de f , vale:

D f = x , y , z ∈ R 3       y ≠ 2 | x | }

O esboço desse domínio é basicamente todo o R 3 exceto pelo plano citado. Ou seja:

Ou seja, todo o espaço menos o plano em azul.

Passo 3

Por fim, vamos analisar as superfícies de nível dessa função. Temos:

z 4 x 2 - y 2 = c

Daí, precisamos escolher dois valores para c .

Para c = 1 , temos:

z = 4 x 2 - y 2

O que nos dá a seguinte superfície de nível:

E, fazendo c = 2 , vamos ter:

z = 8 x 2 - 2 y 2

Esboçando a superfície de nível dessa equação, temos:

Que nos dá uma superfície de nível bem parecida com a anterior.

E é isso gente, conseguiram entender bem? Responde Aí!

Até a próxima 😊

Resposta

Resposta no texto.