Exercícios Resolvidos de Curvas de Nível

Passo 1

Antes de começar a poder fazer o que a questão pede pra gente, temos que definir a função temperatura.

Vamos chamar de T ( x , y ) .

Ele diz que a temperatura no ponto ( x , y ) é inversamente proporcional à distância à origem.

Beleza, como a gente define distância entre dois pontos?

d = x - x 0 2 + y - y 0 2

Se um desses pontos for x 0 , y 0 = ( 0,0 ) , temos:

d = x 2 + y 2

Mas nossa T ( x , y ) é inversamente proporcional a isso. Então:

T x , y = t 1 d

Esse t é a nossa constante de proporcionalidade.

T x , y = t 1 x 2 + y 2

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Passo 2

a )

Agora que já definimos nossa função, vamos começar o que a letra a pediu pra gente: as isotérmicas.

Descrever os pontos onde a temperatura é constante é o mesmo que descrever as curvas de nível da nossa função.

E pra achar curva de nível, o que que gente faz?

T x , y = k

t x 2 + y 2 = k

x 2 + y 2 = t k

x 2 + y 2 = t 2 k 2

Que nada mais é do que circunferências centradas na origem, de raio t k .

Passo 3

b )

Queremos a isotérmica em que a temperatura seja igual a 20 ° C .

T x , y = 20

Já sabemos que a equação da isotérmica é essa aqui:

x 2 + y 2 = t 2 k 2

Substituindo k = 20 :

x 2 + y 2 = t 2 20 2

x 2 + y 2 = t 2 400

Tá, mas qual é o valor desse t ?

Passo 4

Para descobrir isso, vamos usar a informação que ele nos deu na letra b , de que a temperatura no ponto ( 4,3 ) é 40 ° C .

T 4,3 = 40

T 4,3 = t 1 4 2 + 3 2 = 40

t = 40 25

t = 200

Passo 5

Voltando a nossa isotérmica de 20 ° C :

x 2 + y 2 = t 2 400

Substituindo t = 200 :

x 2 + y 2 = 200 2 400

x 2 + y 2 = 1 00

Que nada mais é do que uma circunferência centrada na origem, de raio 100 = 10 .

Resposta

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