8- Seja f x , y = 10 - x - y ² .

b) Identifique as interseções do gráfico de f com os planos z = 0 , z = 1 , z = 2 , y = 0 e x = 0 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Para este problema vamos usar nossos conhecimentos em curvas de níveis, o que vamos fazer é muito parecido.

Lembra o que são curvas de níveis?

As curvas de níveis são obtidas pela intercessão entre a função f x , y e um plano perpendicular a z a uma altura k .

Para encontrar a intercessão de uma função e um plano, é muito parecido, basta substituirmos o valor dado em sua variável e isolar as outras variáveis em um lado da igualdade.

Mas antes de tudo, vamos fazer uma adaptação na função para facilitar a visualização de alguns passos. Vamos substituir f x , y por z .

z = 10 - x - y 2

Passo 2

Vamos calcular as intercessões entre a função z = 10 - x - y 2 e os planos z = 0 , z = 1 , z = 2 , y = 0 e x = 0 .

Como dito antes, para cada plano, vamos substituir o valor do plano na variável que ela representa, por exemplo

A intercessão entre a função e z = 0 , temos

0 = 10 - x - y 2

Elevando ao quadrado os dois lados pra eliminar a raiz

0 = 10 - x - y 2

x + y 2 = 10

Logo a intercessão da função com o plano z = 0 é resultado pela equação x + y 2 = 10

Para o plano z = 1 , temos

1 = 10 - x - y 2

Elevando ao quadrado os dois lados pra eliminar a raiz

1 = 10 - x - y 2

x + y 2 = 9

Agora encontramos a intercessão entre a função e o plano z = 1 como x + y 2 = 9

Passo 3

Para z = 2

2 = 10 - x - y 2

Elevando ao quadrado os dois lados pra eliminar a raiz

4 = 10 - x - y 2

x + y 2 = 6

A intercessão entre a função e o plano z = 2 resulta na equação x + y 2 = 6

Para y = 0 , vamos fazer a mesma coisa, a diferença é que vamos substituir y por 0 na equação.

z = 10 - x - 0 2

z = 10 - x

Elevando ao quadrado os dois lados pra eliminar a raiz

z 2 = 10 - x

x + z 2 = 10

A intercessão entre a função e o plano y = 0 resulta na equação x + z 2 = 10

Passo 4

Por fim, para o plano x = 0 , temos

z = 10 - 0 - y 2

Elevando ao quadrado os dois lados pra eliminar a raiz

z 2 = 10 - y 2

y 2 + z 2 = 1 0

Para este plano, sua intercessão com a função resulta em uma circunferência de raio 10

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Para z = 0 , x + y 2 = 10

Para z = 1 , x + y 2 = 9

Para z = 2 , x + y 2 = 6

Para y = 0 , x + z 2 = 10

Para x = 0 , y 2 + z 2 = 10