Determine o domínio da função dada e represente-o graficamente. Esboce duas curvas de nível para cada função.

d )   f x , y = x y

Passo 1

Faaaaala pessoal, tudo numa boa com vocês?

Nessa questão recebemos a função de duas variáveis dada por:

f x , y = x y

Sobre essa função precisamos determinar o seu domínio e representar o conjunto desse domínio graficamente. Além disso, também precisamos esboçar duas curvas de nível dessa função.

Beleza?!

Tá, mas vamos com calma em cada uma dessas coisas. Primeiramente, vocês lembram o que é o domínio?

Então, nada mais é do que o conjunto de pontos ( x , y ) que podem servir de entrada na nossa função sem que a gente tenha algum absurdo matemático. Ou seja, na prática precisamos verificar os pontos ( x , y ) que são restrição na nossa função.

Já as curvas de nível podemos calcular igualando a função f ( x , y ) a uma constante, tipo assim:

x y = c

Daí, o enunciado nos pede para colocar dois valores pra essa constante c e esboçar a curva formada.

Show de bola! Vamos começar analisando se tem alguma restrição no domínio da nossa função e depois esboçamos o conjunto e as curvas de nível!

Vem comigo 😊

Passo 2

Bom, temos a função:

f x , y = x y

Pra analisar o seu domínio devemos ter em mente que funções envolvendo raiz quadrada têm uma restrição: o radicando precisa sempre ser maior ou igual a zero. Assim:

x y ≥ 0

Assim, temos duas soluções:

x ≥ 0 ,   y ≥ 0 x ≤ 0 ,   y ≤ 0

Ou seja, o 1 ° e o 3 ° quadrante do nosso plano cartesiano. Logo, temos o seguinte conjunto para o domínio:

D f = x , y ∈ R 2     x y ≥ 0 }

E, o seguinte esboço:

Perfeito!

Passo 3

Vamos agora para as curvas de nível. Como vimos no passo 1 , elas obedecem à seguinte equação:

x y = c

Escolhendo c = 1 , podemos esboçar a primeira curva de nível:

x y = 1

∴ y = 1 x

É a equação de uma hipérbole.

Já se escolhermos c = 2 , vamos ter:

x y = 2

∴ y = 4 x

Que também é uma hipérbole.

Perfeito galera! Entenderam direitinho?

Até a próxima gente 😊

Resposta

Resposta no texto.