6) Esboce o gráfico das funções abaixo (onde z = f x , y ):

(a) z = 4 - x 2 - y 2

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema queremos esboçar o gráfico da superfície formada pela equação z = 4 - x 2 - y 2 .

Parece complicado? 😐

Para esboçar uma superfície que não conseguimos visualizar logo de cara como é seu comportamento, podemos usar algumas técnicas para nos ajudar.

Como por exemplo podemos encontrar curvas de níveis ou intersecções da superfície com um plano, assim, desenhando a curva formada no plano de intersecção podemos obter algo parecido com algumas estruturas da superfície e portanto, ter uma ideia de como é o gráfico de z .

Sacou? Bora começar! 😎

Passo 2

A superfície que vamos esboçar é dada por

z = 4 - x 2 - y 2

Fazendo z = c , sendo c o nível das curvas de níveis, temos

x 2 + y 2 = 4 - c

Ou seja, as curvas de níveis da superfície são dadas por circunferências de raio 4 - c .

Então em c = 0 , temos

x 2 + y 2 = 4

Em c = 2

x 2 + y 2 = 2

Agora obtendo a curva de intersecção da superfície com o plano x = 0 , temos

z = 4 - 0 2 - y 2

z = 4 - y 2

E por fim para a intersecção com o plano y = 0

z = 4 - x 2 - 0 2

z = 4 - x 2

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Esboçando as curvas obtidas cada uma em seus devidos planos, temos

A partir dessas curvas, podemos compreender como a superfície se comporta no espaço.

Então esboçando a superfície, temos

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta