22. Descreva e esboce as curvas de nível e o gráfico da função:

c) f x , y = 4 x 2 + y 2

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema queremos obter algumas curvas de níveis da função f x , y = 4 x 2 + y 2 e esboçar o gráfico dessa função.

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

As curvas de nível de uma função f x , y são conjuntos de pontos no plano x y onde a função tem um mesmo valor de z . Ou seja, as curvas de nível são os conjuntos de pontos que satisfazem a equação f x , y = z , onde z é um valor do eixo z .

Para plotar as curvas de nível de uma função, podemos utilizar um gráfico bidimensional no plano x y e traçar as curvas que correspondem a cada valor de z da função.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Vamos começar definindo alguns valores de z para substituir na função

Podemos usar z = 1 , z = 3 e z = 5 .

Para z = 1 , temos

f x , y = z = 1

4 x 2 + y 2 = 1

x 2 1 / 4 + y 2 1 = 1

Perceba que essa equação é exatamente a equação da elipse com a = 1 / 2 e b = 1

Só recapitulando, a equação genérica de uma elipse é dada por

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

Onde a e b são os raios em x e em y da elipse e x 0 e y 0 são as coordenadas do centro da elipse.

Portanto, essa equação resulta em uma elipse de a = 1 / 2 , b = 1 e centro em 0,0 .

Plotando essa curva temos...

Entendeu essa parte? 😊

Passo 3

Agora vamos fazer a mesma coisa para z = 3

f x , y = z = 3

4 x 2 + y 2 = 3

x 2 1 / 4 + y 2 1 = 3

x 2 3 / 4 + y 2 3 = 1

Nessa equação temos também uma circunferência centrada em 0,0 , com a = 3 2 e b = 3 .

Plotando essa curva, vamos obter

E por último, fazendo z = 5

f x , y = z = 5

4 x 2 + y 2 = 5

x 2 1 / 4 + y 2 1 = 5

x 2 5 / 4 + y 2 5 = 1

Plotando essa curva em z = 3 com a = 5 / 2 e b = 5 com centro em 0,0 .

Bacana, não é? 😁

Passo 4

E finalmente, podemos usar essas curvas de níveis para determinar o gráfico de f x , y em três dimensões.

Esboçando cada curva em seu respectivo nível de z e estimando o comportamento da função entre um nível e outro, vamos chegar em

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

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