2) Representar no plano cartesiano as curvas de nível das funções abaixo correspondentes aos valores de nível c dados

(b) f x , y = 2 x 2 + 2 y 2 - 6 , c = 0 , c = 2 , c = 2 , c = 3 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, temos que calcular e esboçar no plano cartesiano as curvas de níveis solicitadas da função f x , y .

Tem ideia de como fazemos isso? 😬

Para esboçar a curva de nível de uma função, temos que igualar f x , y a c , onde c representa a curva de nível que vamos substituir.

Na prática, temos uma função tridimensional e c é o plano paralelo ao plano x y de altura c em z . Esse plano corta a função em algum momento e esse corte gera uma curva bidimensional, sendo essa curva nossa curva de nível!

Sacou? Bora começar! 😎

Passo 2

A função foi dada como

f x , y = 2 x 2 + 2 y 2 - 6

E os níveis que vamos obter são c = 0 , c = 2 , c = 2 e c = 3 .

Igualando f x , y = c , temos

f x , y = 2 x 2 + 2 y 2 - 6 = c

Elevando os dois lados ao quadrado...

2 x 2 + 2 y 2 - 6 2 = c 2

2 x 2 + 2 y 2 - 6 = c 2

x 2 + y 2 = c 2 + 6 2

Podemos lembrar que a equação da circunferência centrada na origem é dada por x 2 + y 2 = r 2 , portanto podemos imaginar que as curvas de níveis de f serão circunferências de raio c 2 + 6 2 .

Bacana, não é? 😉

Passo 3

Assim, vamos substituir os valores de c solicitados.

Para c = 0

x 2 + y 2 = 0 2 + 6 2 → x 2 + y 2 = 3

Para c = 2

x 2 + y 2 = 2 2 + 6 2 → x 2 + y 2 = 4

Para c = 2

x 2 + y 2 = 2 2 + 6 2 → x 2 + y 2 = 5

Por último, para c = 3

x 2 + y 2 = 3 2 + 6 2 → x 2 + y 2 = 15 2

Esboçando essas circunferências no plano cartesiano, temos

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta