2) Representar no plano cartesiano as curvas de nível das funções abaixo correspondentes aos valores de nível c dados

(e) f x , y = 3 x + x 2 x - y , c = - 5 , c = - 1 e c = 3 .

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema, temos que calcular e esboçar no plano cartesiano as curvas de níveis solicitadas da função f x , y .

Tem ideia de como fazemos isso? 😬

Para esboçar a curva de nível de uma função, temos que igualar f x , y a c , onde c representa a curva de nível que vamos substituir.

Na prática, temos uma função tridimensional e c é o plano paralelo ao plano x y de altura c em z . Esse plano corta a função em algum momento e esse corte gera uma curva bidimensional, sendo essa curva nossa curva de nível!

Sacou? Bora começar! 😎

Passo 2

A função foi dada como

f x , y = 3 x + x 2 x - y

E os níveis que vamos obter são c = - 5 , c = - 1 e c = 3 .

Igualando f x , y = c , temos

f x , y = 3 x + x 2 x - y = c

Manipulando essa equação, vamos chegar em

3 x + x 2 x - y = c → 3 x + x 2 = c x - y

3 x + x 2 = c x - c y

Vamos tentar isolar y em um lado da igualdade

c y = - 3 x - x 2 + c x

y = - x 2 + c - 3 x c

Dessa forma, nossas curvas de níveis serão parábolas.

Consegue ver isso? 😬

Passo 3

Substituindo c , temos que

Para c = - 5

y = - x 2 + - 5 - 3 x - 5 → y = 1 5 x 2 + 8 5 x

Para c = - 1

y = - x 2 + - 1 - 3 x - 1 → y = x 2 + 4 x

Para c = 3

y = - x 2 + 3 - 3 x 3 → y = - 1 3 x 2

Esboçando essas curvas no plano cartesiano...

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

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