6) Esboce o gráfico das funções abaixo (onde z = f x , y ):

(d) z = x 2 + y 2 - 3

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema queremos esboçar o gráfico da superfície formada pela equação z = x 2 + y 2 - 3 .

Parece complicado? 😐

Para esboçar uma superfície que não conseguimos visualizar logo de cara como é seu comportamento, podemos usar algumas técnicas para nos ajudar.

Como por exemplo podemos encontrar curvas de níveis ou intersecções da superfície com um plano, assim, desenhando a curva formada no plano de intersecção podemos obter algo parecido com algumas estruturas da superfície e portanto, ter uma ideia de como é o gráfico de z .

Sacou? Bora começar! 😎

Passo 2

A superfície que vamos esboçar é dada por

z = x 2 + y 2 - 3

Fazendo z = c , sendo c o nível das curvas de níveis, temos

c = x 2 + y 2 - 3

x 2 + y 2 = c + 3

Assim podemos perceber que as curvas de níveis da superfície serão circunferências de raio c + 3 .

Por exemplo em c = 0

x 2 + y 2 = 0 + 3 → x 2 + y 2 = 3

E também em c = - 2

x 2 + y 2 = - 2 + 3 → x 2 + y 2 = 1

Agora esboçando a intersecção da superfície com o plano x = 0 , temos

z = 0 2 + y 2 - 3 → z = y 2 - 3

Fazendo o mesmo para o plano y = 0

z = x 2 + 0 2 - 3 → z = x 2 - 3

Bacana, não é? 😉

Passo 3

Esboçando cada curva em seu devido nível ou plano, chegamos em

A partir daí podemos imaginar o comportamento da superfície no espaço.

Além disso, nesse caso podemos perceber que nossa superfície é um paraboloide dado por

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

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