Descreva e esboce as curvas de nível e o gráfico da função:

i )   f x , y = e - x 2 + y 2

Passo 1

Ooii pessoal, tudo bem com vocês?

Nessa questão recebemos a função de duas variáveis dada por:

f x , y = e - x 2 + y 2

E, precisamos determinar a curva de nível dessa função, bem como o seu gráfico.

Pra determinar a curva de nível basta igualarmos a função dada a uma constante. A partir disso, analisamos a curva que será formada no plano.

Já para determinar o gráfico da função de duas variáveis, precisamos analisar a figura tridimensional que a nossa lei de função irá gerar.

Vem com a gente que esses passos vão ficar super claros 😊

Passo 2

Começando pela curva de nível, precisamos igualar a expressão da lei de formação a uma constante.

Assim:

c = e - x 2 + y 2

Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados, temos:

ln ⁡ c = - ( x 2 + y 2 )

∴ x 2 + y 2 = - ln ⁡ c

Como - ln ⁡ c também é uma constante, escrevemos que:

x 2 + y 2 = k 2

onde k 2 = - ln ⁡ c

Isso é a equação de uma circunferência centrada em ( 0,0 ) cujo raio vale k .

Logo, podemos esboçá-la como:

Perfeito!

Passo 3

Agora que já desenhamos a curva de nível, vamos pensar no gráfico da função.

A nossa função é dada por:

f x , y = e - x 2 + y 2

Conforme o termo x 2 + y 2 cresce, menor fica a nossa função f ( x , y ) .

O máximo valor que a função assume é justamente quando:

x 2 + y 2 = 0

∴ f x , y = 1

Quando x 2 + y 2 → ∞ , temos f x , y → 0 .

De modo que todo o plano z = 0 é coberto.

Portanto, podemos esboçar o seu gráfico como:

Diferente né? Mas é issoo!

Espero que vocês tenham entendido bem direitinho, até a próxima 😊

Resposta

Resposta no texto.