Exercícios Resolvidos de Curvas de Nível

Seja f a função, definida em

x , y ∈ R 2 : x 2 + x + 2 y ≠ 0

Dada por

f x , y = x 2 + 2 y 2 + 2 x + 4 y - 1 x 2 + x + 2 y

Determine equações para as curvas de nível c de f quando c = 0,1   e   2 . Faça um esboço delas (em linha cheia) e da restrição no domínio (em pontilhado).

Passo 1

Vamos começar entendendo o domínio dessa função, afinal, se a função não estiver definida num ponto, nenhuma curva de nível poderá passar por ele.

A região do domínio é

x 2 + x + 2 y ≠ 0

Rearrumando isso, temos

y ≠ - x 2 2 - x 2

Que nada mais é do que uma parábola. Assim, o domínio de f é todo o plano, exceto os pontos que estiverem sobre a parábola

y = - x 2 2 - x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ótimo! Agora vamos determinar as curvas de nível.

Para isso, basta igualarmos a expressão da função aos valores de c pedidos.

Para c = 0 , a curva de nível é:

f x , y = x 2 + 2 y 2 + 2 x + 4 y - 1 x 2 + x + 2 y = 0

x 2 + 2 y 2 + 2 x + 4 y - 1 = 0

Completado quadrados, temos:

x + 1 2 + 2 y + 1 2 = 1 + 1 2 + 2.1 2

x + 1 2 + 2 y + 1 2 = 4

Dividindo tudo por 4:

x + 1 2 4 + y + 1 2 2 = 1

Temos então que a curva de nível zero da função é a elipse acima.

Passo 3

Agora, para c = 1 , a curva de nível é:

f x , y = x 2 + 2 y 2 + 2 x + 4 y - 1 x 2 + x + 2 y = 1

x 2 + 2 y 2 + 2 x + 4 y - 1 = x 2 + x + 2 y

2 y 2 + 4 y - 2 y = x 2 + x - x 2 - 2 x + 1

2 y 2 + 2 y = 1 - x

x = - 2 y 2 - 2 y + 1

Que é uma parábola, só que em torno de x .

Passo 4

Por fim, para c = 2 , a curva de nível é:

f x , y = x 2 + 2 y 2 + 2 x + 4 y - 1 x 2 + x + 2 y = 2

x 2 + 2 y 2 + 2 x + 4 y - 1 = 2 x 2 + 2 x + 4 y

2 y 2 + 4 y - 4 y = 2 x 2 + 2 x - x 2 - 2 x + 1

2 y 2 = 1 + x ²

- x 2 + 2 y 2 = 1

Que é uma hipérbole.

Como o eixo y é o que está com sinal positivo, então, ele corta a hipérbole em seus vértices.

Passo 5

Agora só nos resta esboçar tudo isso junto.

Assim, esboçando a elipse

x + 1 2 4 + y + 1 2 2 = 1

Com centro em - 1 , - 1 e semi eixos 2 e 2 ,

Esboçando a parábola

x = - 2 y 2 - 2 y + 1

Cortando o eixo x .

Esboçando a hipérbole

- x 2 + 2 y 2 = 1

Cortando o eixo y .

E, esboçando a parábola que delimita o domínio

y = - x 2 2 - x 2

Temos

Resposta

Domínio: y ≠ - x 2 2 - x 2

Curvas de nível:

x + 1 2 4 + y + 1 2 2 = 1

x = - 2 y 2 - 2 y + 1

- x 2 + 2 y 2 = 1

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