Nos seguintes exercícios, ( I ) encontre o domínio D o m   f , ( I I ) encontre a imagem I m   f , e ( I I I ) descreva as curvas de nível da função:

a) f ( x , y ) = x 2 - y 2

Passo 1

Iae, meus queridos! Tudo certinho?

Para resolver essa questão, temos que entender os conceitos de domínio e imagem de uma função.

Podemos dizer que o domínio de uma função é o conjunto de todas as entradas possíveis da função. As entradas aqui são x e y , então o domínio são os valores que x e y podem assumir.

A imagem é o conjunto de todas as saídas possíveis da função, ou seja, todos os valores que a função assume..

Se Para f ( x , y ) = x 2 - y 2 , não tem nenhuma restrição, x e y podem assumir qualquer valor.

D o m   f x , y = f x , y ∈ R

Então, sSeu domínio será o conjunto dos números reais.

Pra imagem também não vamos ter nenhuma limitação. Essa função pode assumir qualquer valor de - ∞ até + ∞ .

I m   f x , y = f x , y ∈ R

Então, sSua imagem será, também, o conjunto dos números reais.

Passo 2

Para descrever a curva de nível de uma função, devemos igualáa-la ao nível que queremos, por exemplo, nesse caso vamos usar os níveis 0 , 1 , 3 e 5 .

Para o nível 0

f ( x , y ) = 0

x 2 - y 2 = 0

Para o nível 1

f ( x , y ) = 1

x 2 - y 2 = 1

Para o nível 3

f x , y = 3

x 2 - y 2 = 3

Para o nível 5

f ( x , y ) = 5

x 2 - y 2 = 5

Temos então as seguintes equações:

N 0 :   x 2 - y 2 = 0 N 1 :   x 2 - y 2 = 1 N 3 :   x 2 - y 2 = 3 N 5 :   x 2 - y 2 = 5

Agora esboçamos os gráficos dessas equações e teremos os níveis 0 , 1 , 3 e 5 .

É isso! Bacana né? Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

D o m   f x , y = f x , y ∈ R

I m   f x , y = f x , y ∈ R