Exercícios Resolvidos de Curvas de Nível

UFRJ, Cálculo 2, P1 - 2009.1, Questão 4

Dada a função f x ,   y = 5 - 25 x 2 + 5 y 2 .

Determine algebricamente e identifique as curvas de nível de f ( x ,   y ) .

Passo 1

Curvas de nível:

f x ,   y = k

5 - 25 x 2 + 5 y 2 = k

5 - 25 x 2 + 5 y 2 = k 2

25 x 2 - 5 y 2 = 5 - k 2

Se o lado direito da equação for diferente de zero então podemos dividir:

25 5 - k 2 x 2 - 5 5 - k 2 y 2 = 1

E essa é a equação característica da hipérbole.

Note que o sinal de ( 5 - k 2 ) só determina se a hipérbole é horizontal ou vertical.

Por outro lado, se o lado direito daquela equação acima for zero, então:

25 x 2 - 5 y 2 = 0

y = ± 5 x

E essas são justamente as retas assíntotas das hipérboles encontradas acima.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Resposta

25 5 - k 2 x 2 - 5 5 - k 2 y 2 = 1 , se k 5 (hipérbole)

y = ± 5 x , se k = 5 (reta)

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