Exercícios Resolvidos de Curvas de Nível

UNICAMP, Cálculo 2, P1 - 2013.2 - 5ª Vespertino, Questão 3

Seja g x , y = x y - y 3 . Determine a equação da reta tangente à curva de nível g x , y = 1 no ponto P = 2,1 .

Passo 1

Reta tangente à curva de nível? Então temos que, antes de mais nada, ver que curva é essa!

Vamos lá, para o nível 1 , temos:

1 = x y - y 3

Agora, devemos parametriza-la, para depois deriva-la e encontrar o vetor tangente! Então, podemos isolar uma das variáveis. A mais fácil parece ser o x , passando o y 3 para o outro lado:

1 + y 3 = x y

1 + y 3 y = x

Agora, chamando y de t , temos que x = 1 + t 3 t . A parametrização fica, então:

σ t = 1 + t 3 t , t , t R

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Passo 2

Show, agora devemos ver o valor do parâmetro o ponto P = 2,1 :D E, para a nossa sorte, ele já está aí! Para o ponto 2,1 , temos que:

1 + t 3 t , t = 2,1

Como a segunda coordenada da curva parametrizada é t , e a segunda coordenada do ponto é 1 , então temos que t = 1 ! Veja que esse valor é realmente correto, pois atende às primeiras coordenadas:

1 + 1 3 1 = 2

Passo 3

Agora que temos o valor do parâmetro, podemos derivar a curva para obter o vetor diretor da reta tangente:

σ t = 1 + t 3 t , t

Usando a regra do quociente para a primeira coordenada, temos:

σ ' t = 3 t 2 . t - 1 . 1 + t 3 t 2 , 1

σ ' t = 2 t 3 - 1 t 2 , 1

Jogando o valor do parâmetro, t = 1 , temos:

σ ' 1 = 2 . 1 3 - 1 1 2 , 1

σ ' 1 = 1,1

Passo 4

Pronto! Temos o vetor diretor da nossa reta, que é a derivada da curva no ponto de tangência! Agora, só jogar na equação da reta:

r k = 1,1 . k + 2,1 , k R

r k = k + 2 , k + 1 ,   k R

Ou seja, o vetor diretor “esticado” pelo parâmetro k , e depois transladado pelo valor do ponto P :D

Resposta

r k = k + 2 , k + 1 ,   k R

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