Exercícios Resolvidos de Curvas de Nível

USP, P1 2011, exercício 1 (modificado)

Seja

f x , y = 2 x 2 + y 2 4 x - y 2

a) Esboce a curva de nível de f que corresponde ao nível z = 3 . Em que pontos essa curva intercepta o eixo x ?

Passo 1

a)

Ok, ele quer a curva de nível que tem z = 3 . Então, tudo o que temos que fazer é pegar a função f x , y e igualá-la a 3 :

2 x 2 + y 2 4 x - y 2 = 3

E agora partiu ver que curva é essa! Vamos desenvolver melhor essa equação?

2 x 2 + y 2 = 3 4 x - y 2

2 x 2 + y 2 = 12 x - 3 y 2

2 x 2 - 12 x + 4 y 2 = 0

Dividindo tudo por 2 ,

x 2 - 6 x + 2 y 2 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, o que acha de completarmos o quadrado para o x ? Só pensar que o coeficiente - 6 do x é duas vezes o coeficiente do x 2 vezes o segundo termo do produto notável. Assim,

x 2 - 6 x + 9 - 9 + 2 y 2 = 0

x - 3 2 + 2 y 2 = 9

x - 3 2 9 + 2 9 y 2 = 1

E pronto! Temos aí a equação de uma elipse, centrada em 3,0 !

Passo 3

Agora, analisemos o que o enunciado realmente pediu: em que ponto essa curva corta o eixo x ? Para saber disso, temos que fazer y = 0 , e então teremos o ponto pedido :)

x - 3 2 9 + 2 9 0 2 = 1

x - 3 2 = 9

Tirando a raiz quadrada dos dois lados,

x - 3 = ± 3

x = 0   o u   x = 6

Passo 4

Mas tome muito cuidado agora! Encontramos os pontos 0,0 e 6,0 , certo? Não! Temos apenas o segundo, pois a origem não faz parte do domínio da função! Isso porque substituindo os valores x , y = 0 ,   0 na função temos uma divisão por zero.

Assim, temos apenas o ponto 6,0 , pois a curva não toca a origem:

Passo 5

Coloquei direto a imagem da elipse, mas se você tiver alguma dúvida de como se esboça, é só lembrar da equação geral:

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

Então, como nosso x 0 = 3 e y 0 = 0 , seu centro está em 3,0 . Aí para ver os semieixos, você pega, a partir do centro, + a e a na direção x e + b e b na direção y !

Resposta

a) Corta o eixo x no ponto 6,0 , apenas.

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