Exercícios Resolvidos de Curvas de Nível

USP, Cálculo 2, P1 - 2011, Questão 2

Seja f x , y = y - 2 x 2 - 1 .

a) Esboce uma família de curvas de nível de f .

b) Encontre a interseção do gráfico de f com o plano x = 0 e descreva a interseção do gráfico de f com cada plano y = k , em que k R .

c) Descreva e esboce o gráfico de f .

d) Encontre uma parametrização para a interseção do gráfico de f com o plano z = x , explicitando o domínio.

Passo 1

a) Curvas de nível? Não tem nível definido? Então joguemos um nível “ k ” e vejamos que família de curvas é essa! Igualando f x , y a k , temos:

y - 2 x 2 - 1 = k

Elevando os dois lados ao quadrado, temos:

y - 2 x 2 - 1 = k 2

y = 2 x 2 + k 2 + 1

E perceba que o termo k 2 + 1 é constante! Assim, nossas curvas são todas parábolas :)

Como o quadrado está no x , e seu coeficiente é positivo, ela aponta para o sentido positivo do eixo y ! E vale lembrar que como o interior da raiz da equação original não pode ser menor do que 0 , não temos curvas com nível negativo! Enfim, as parábolas ficam assim:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Agora vejamos a interseção do gráfico de f com o plano x = 0 . Para isso, apenas colocamos x = 0 na equação da função! Fica assim:

z = f x , y = y - 2 x 2 - 1

z = y - 2 . 0 2 - 1

z 2 = y - 1

y = z 2 + 1

Show! Chegamos numa parábola, no plano O y z , que aponta para o sentido positivo do eixo y ! Mas atenção, não tínhamos que z = y - 1   ? Então não é a parábola toda, pois z deve ser maior que 0 (não estamos trabalhando com raízes dando números negativos)!

Aqui, o eixo z é o vertical, e o y o horizontal

Passo 3

Agora, vamos à segunda parte da letra b . Vejamos quais são as curvas formadas pelos planos y = k ! Novamente, basta colocar k onde aparecer y na equação de f :

z = k - 2 x 2 - 1

z 2 = k - 2 x 2 - 1

2 x 2 + z 2 = k - 1

E aí? Percebeu que curvas são essas? Bom, de cara já vemos que k deve ser maior que 1, certo? Para não haver dois números ao quadrado somados e igualados a alguma coisa menor que 0 !

Para facilitar a vida, suponhamos k = 2 ... Qual seria a curva?

2 x 2 + z 2 = 2 - 1

x 2 1 2 + z 2 = 1

Uma elipse!! Sim! E coloquei o x 2 dividido por 1 2 ao invés de multiplicado por 2   para cair certinho no nosso “template” da equação da elipse! Assim, para esse caso, seus semi-eixos são 1 2 e 1 !

E, novamente, lembrando que, como tínhamos uma raiz quadrada na parada, não podemos dizer que são elipses completas, pois se z = k - 2 x 2 - 1 , então z > 0 ! Assim, temos apenas a parte de cima das elipses!

Aqui o eixo z é o da vertical, e o x o da horizontal!

Passo 4

c) Agora só precisamos juntar o que fizemos até agora! Temos elipses nos planos y = k , ou seja, em planos paralelos ao O x z , e temos parábolas nos planos x = k , ou seja, em planos paralelos ao O y z . Então, temos um paraboloide elíptico!

Passo 5

d) Como sabemos, a interseção entre duas superfícies, no nosso caso o paraboloide e o plano, deve nos dar uma curva! Para fazer essa interseção, como é o plano z = x , vamos trocar todos os z por x na f :

z = y - 2 x 2 - 1

x = y - 2 x 2 - 1

x 2 =   y - 2 x 2 - 1

y = 3 x 2 + 1

Show!! Acabamos de encontrar uma parábola! Agora é só parametrizar... Como temos que x e z são iguais, podemos chamar x de t e z de t também. Como temos y em função de x , que é o nosso t da parametrização,

y = 3 t 2 + 1

E a curva, parametrizada fica:

γ t = t , 3 t 2 + 1 , t

Beleza! E quanto aos limites do parâmetro? Ele vale para todo o R ? Não! Lembra da raiz quadrada? Vimos que x deve ser maior ou igual a zero, então t 0

Resposta

a)

b)

c)

d) γ t = t , 3 t 2 + 1 , t , t 0

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