Exercícios Resolvidos de Curvas de Nível

UFPE, Calculo 2, 1º EE - 2012.2, Questão 1

Seja T : X R 2 R uma função cujo valor do ponto x , y X representa a temperatura em ° C neste ponto. Se T é dada por:

T x , y = 1 x 2 + y 2 - 2 x - 2 y + 2

  1. Determine e esboce graficamente o domínio da função T
  2. Esboce a isoterma de temperatura T = 1 49 ° C
  3. Encontre o(s) ponto(s) onde a temperatura seja máxima ao longo da reta y = - x

Passo 1

  1. Vamos começar ajeitando essa função. Temos:
  2. T x , y = 1 x 2 + y 2 - 2 x - 2 y + 2 = 1 x - 1 2 + y - 1 2

    Passo 2

    O denominador tem de ser diferente de zero, logo:

    x - 1 2 + y - 1 2 0

    x 1 , y 1  

    Então, o domínio será:

    D T = R 2 - 1,1

    Ou seja, todo R 2 menos o ponto 1,1

    Passo 3

    Graficamente:

    Passo 4

  3. Substituindo T = 1 49 , temos:
  4. T x , y = 1 x - 1 2 + y - 1 2 = 1 49

    Então fica:

    x - 1 2 + y - 1 2 = 49

    Essa é a equação de uma circunferência de raio 7 , com centro em 1,1 .

    Graficamente:

    Passo 5

  5. Bom, primeiramente repare que a reta y = - x , está no domínio da função, pois não compreende o ponto 1,1 . Visto isso, basta substituir y = - x na função. Vai ficar:

T x , y = 1 x - 1 2 + y - 1 2

T x , - x = 1 x - 1 2 + - x - 1 2 = 1 2 x 2 + 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos uma função de apenas uma variável. Para encontrar seus valores máximos e mínimos vamos derivar essa função e igualar a zero. Fica:

T ' x = - 4 x 2 x 2 + 2 2 = 0

Logo, temos x = 0

Passo 3

Fazendo o teste da derivada segunda nesse ponto:

T ' ' = - 4 2 x 2 + 2 2 - 32 x 2 2 x 2 + 2 2 x 2 + 2 4 = - 16 - 0 4 4 < 0

Logo, como a segunda derivada é menor do qe zero, o ponto é de máximo.

Logo, o ponto onde a temperatura é máximo é x , y = 0,0

Resposta

  1. D T = R 2 - 1,1
  2. x , y = 0,0

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