Exercícios Resolvidos de Curvas de Nível

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p. 71 – exemplo 3.3

A temperatura em um ponto ( x , y ) de uma placa de metal plana é T x , y = 9 x 2 + 4 y 2 graus.

  1. Encontre a temperatura no ponto ( 1 ,   2 ) .
  2. Encontre a equação da curva ao longo da qual a temperatura tem um valor constante e igual a 36 graus.
  3. Esboce a curva do item (b).

Passo 1

Resolvendo o item (a):

Basta substituir x = 1 e y = 2 para descobrir T ( 1,2 ) :

T x , y = 9 x 2 + 4 y 2

T 1,2 = 9 1 2 + 4 2 2

T 1,2 = 9 + 16

⇒ T 1,2 = 25

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Passo 2

Resolvendo o item (b):

Queremos encontrar a curva em que a temperatura é constante e igual a 36 . Logo:

T x , y = 36

⇒ 9 x 2 + 4 y 2 = 36

Dividindo os dois lados por 36 :

9 x 2 36 + 4 y 2 36 = 36 36

⇒ x 2 4 + y 2 9 = 1

Portanto, os pontos ( x , y ) que satisfazem essa equação satisfazem T x , y = 36 .

Observação: note que esses pontos são uma curva de nível da função T ( x , y ) !

Passo 3

Perceba que equação da curva que acabamos de encontrar é uma elipse.

Portanto, seu gráfico é o seguinte:

Resposta

  1. T 1,2 = 25

  2. x 2 4 + y 2 9 = 1

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