Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Trigonométrico

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo Volume I, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, pg.97, 3d.

Calcule:

lim x p sec x - sec p x - p

Passo 1

Para esse cara temos uma indeterminação de 0 0 .

lim x p sec x - sec p x - p = sec p - sec p p - p = 0 0

Como primeira ideia, eu sugiro que a gente pegue essas secantes e transforme elas em cossenos:

lim x p sec x - sec p x - p = lim x p 1 cos x - 1 cos p x - p

= lim x p cos p - cos x cos p cos x x - p = lim x p cos p - cos x x - p cos p cos x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Esses cossenos do denominador não vão gerar indeterminação, então vou separá –los do limite principal:

= lim x p cos p - cos x x - p lim x p 1 cos p cos x

Agora uma boa é pegar esse x - p e o substituir por uma variável auxiliar u , isso só no primeiro limite. Ficaria assim,

u = x - p     ;     x p

u p - p = 0

lim x p cos p - cos x x - p = lim u 0 cos p - cos u + p u

Passo 3

Vou tentar agora abrir o segundo cosseno pela seguinte propriedade trigonométrica:

cos x ± y = cos x cos y sen x sen y

cos u + p = cos u cos p - sen u sen p

lim u 0 cos p - cos u + p u = lim u 0 cos p - cos u cos p + sen u sen p u

Dando uma arrumada, ele vai parecer beeem mais fácil de sair:

lim u 0 cos p - cos u cos p + sen u sen p u

= cos p lim u 0 1 - cos u u + sen p lim u 0 sen u u

Passo 4

O primeiro cara vai sair quando multiplicarmos ele pelo seu conjugado, em cima e embaixo:

lim u 0 1 - cos u u = lim u 0 1 - cos u u 1 + cos u 1 + cos u

= lim u 0 1 - cos 2 u u 1 + cos u

Vale lembrar que sen 2 u + cos 2 u = 1 , ou seja, 1 - cos 2 u = sen 2 u :

lim u 0 1 - cos 2 u u 1 + cos u = lim u 0 sen 2 u u 1 + cos u

= lim u 0 sen u u lim u 0 sen u 1 + cos u

Substituímos no primeiro limite o Limite Fundamental Trigonométrico, no segundo apenas jogamos u 0 :

lim u 0 sen u u lim u 0 sen u 1 + cos u = 1 0 1 + 1

= 1 0 2 = 0

Passo 5

No outro limite, é só sair no Limite Fundamental Trigonométrico:

lim u 0 sen u u = 1

Juntando todos os resultados, substituímos e ficamos assim:

lim x p sec x - sec p x - p = lim x p cos p - cos x x - p lim x p 1 cos p cos x

= cos p lim u 0 1 - cos u u + sen p lim u 0 sen u u lim x p 1 cos p cos x

= ( cos p 0 + sen p 1 ) lim x p 1 cos p cos x

= - sen p 1 cos p cos p = sen p cos p 1 cos p

= tg p sec p

Resposta

lim x p sec x - sec p x - p = tg p sec p

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