Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Trigonométrico

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo Volume I, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, pg.97, 3d.

Calcule:

lim x → p ⁡ sec ⁡ x - sec ⁡ p x - p

Passo 1

Para esse cara temos uma indeterminação de 0 0 .

lim x → p ⁡ sec ⁡ x - sec ⁡ p x - p = sec ⁡ p - sec ⁡ p p - p = 0 0

Como primeira ideia, eu sugiro que a gente pegue essas secantes e transforme elas em cossenos:

lim x → p ⁡ sec ⁡ x - sec ⁡ p x - p = lim x → p ⁡ 1 cos ⁡ x - 1 cos ⁡ p x - p

= lim x → p ⁡ cos ⁡ p - cos ⁡ x cos ⁡ p cos ⁡ x x - p = lim x → p ⁡ cos ⁡ p - cos ⁡ x x - p cos ⁡ p cos ⁡ x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Esses cossenos do denominador não vão gerar indeterminação, então vou separá –los do limite principal:

= lim x → p ⁡ cos ⁡ p - cos ⁡ x x - p lim x → p ⁡ 1 cos ⁡ p cos ⁡ x

Agora uma boa é pegar esse x - p e o substituir por uma variável auxiliar u , isso só no primeiro limite. Ficaria assim,

u = x - p     ;     x → p

u → p - p = 0

lim x → p ⁡ cos ⁡ p - cos ⁡ x x - p = lim u → 0 ⁡ cos ⁡ p - cos ⁡ u + p u

Passo 3

Vou tentar agora abrir o segundo cosseno pela seguinte propriedade trigonométrica:

cos ⁡ x ± y = cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ y ∓ sen ⁡ x ⋅ sen ⁡ y

cos ⁡ u + p = cos ⁡ u ⋅ cos ⁡ p - sen ⁡ u ⋅ sen ⁡ p

lim u → 0 ⁡ cos ⁡ p - cos ⁡ u + p u = lim u → 0 ⁡ cos ⁡ p - cos ⁡ u ⋅ cos ⁡ p + sen ⁡ u ⋅ sen ⁡ p u

Dando uma arrumada, ele vai parecer beeem mais fácil de sair:

lim u → 0 ⁡ cos ⁡ p - cos ⁡ u ⋅ cos ⁡ p + sen ⁡ u ⋅ sen ⁡ p u

= cos ⁡ p lim u → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ u u + sen ⁡ p lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u

Passo 4

O primeiro cara vai sair quando multiplicarmos ele pelo seu conjugado, em cima e embaixo:

lim u → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ u u = lim u → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ u u 1 + cos ⁡ u 1 + cos ⁡ u

= lim u → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ u u 1 + cos ⁡ u

Vale lembrar que sen 2 ⁡ u + cos 2 ⁡ u = 1 , ou seja, 1 - cos 2 ⁡ u = sen 2 ⁡ u :

lim u → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ u u 1 + cos ⁡ u = lim u → 0 ⁡ sen 2 ⁡ u u 1 + cos ⁡ u

= lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u 1 + cos ⁡ u

Substituímos no primeiro limite o Limite Fundamental Trigonométrico, no segundo apenas jogamos u → 0 :

lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u 1 + cos ⁡ u = 1 0 1 + 1

= 1 0 2 = 0

Passo 5

No outro limite, é só sair no Limite Fundamental Trigonométrico:

lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u = 1

Juntando todos os resultados, substituímos e ficamos assim:

lim x → p ⁡ sec ⁡ x - sec ⁡ p x - p = lim x → p ⁡ cos ⁡ p - cos ⁡ x x - p lim x → p ⁡ 1 cos ⁡ p cos ⁡ x

= cos ⁡ p lim u → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ u u + sen ⁡ p lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u lim x → p ⁡ 1 cos ⁡ p cos ⁡ x

= ( cos ⁡ p 0 + sen ⁡ p 1 ) lim x → p ⁡ 1 cos ⁡ p cos ⁡ x

= sen ⁡ p 1 cos ⁡ p cos ⁡ p = sen ⁡ p cos ⁡ p 1 cos ⁡ p

= tg ⁡ p sec ⁡ p

Resposta

lim x → p ⁡ sec ⁡ x - sec ⁡ p x - p = tg ⁡ p sec ⁡ p

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