Determine os limites nos seguintes exercícios.

d )   l i m θ → 0 1 - c o s ( θ ) s e n ( 2 θ )

Passo 1

Oiiie, tudo bem com você?

Temos que determinar o seguinte limite

d )   l i m θ → 0 1 - c o s ( θ ) s e n ( 2 θ )

este exercício estava na seção de limites fundamentais! Então isso já é uma dica por si só, mas qual deles iremos usar? Usualmente quando temos funções seno, podemos usar o limite fundamental trigonométrico

l i m θ → 0 s e n ( θ ) θ = 1

Mas claro, vamos precisar reescrever esse problema um pouquinho! Vamos lá!

Passo 2

Note que substituir θ = 0 nos leva a uma indeterminação do tipo 0 / 0 então o limite não se resolve assim, e, da forma como está escrito, não temos exatamente o limite fundamental indicado. Como fazer ele aparecer? Note que o cosseno está atrapalhando, então vamos tentar transformar ele em um seno! Como fazer isso? Vamos multiplicar e dividir o limite por

1 + c o s ( θ )

de forma que

l i m θ → 0 1 - c o s ( θ ) s e n ( 2 θ ) 1 + c o s ( θ ) 1 + c o s ( θ ) = l i m θ → 0 1 - c o s 2 ( θ ) [ 1 + c o s ( θ ) ] s e n ( 2 θ )

como temos que

s e n 2 ( θ ) + c o s 2 ( θ ) = 1

podemos escrever o cosseno em termos de seno como

l i m θ → 0 s e n 2 ( θ ) [ 1 + c o s ( θ ) ] s e n ( 2 θ )

Mas ainda não conseguimos ver o limite fundamental! Tem mais um truque que podemos usar! Saca só!

Passo 3

Vamos multiplicar e dividir o limite por θ 2 / 2 , de forma que

l i m θ → 0 s e n 2 ( θ ) [ 1 + c o s ( θ ) ] s e n ( 2 θ ) θ 2 / 2 θ 2 / 2 = 1 2 l i m θ → 0 θ 1 + c o s ( θ ) ( s e n ( θ ) θ ) 2 2 θ s e n ( 2 θ )

note que usei que θ 2 = θ θ , e reagrupe os termos um pouco, como o limite pode ser feito individualmente em cada termo do produto, obtemos que

1 2 l i m θ → 0 θ 1 + c o s ( θ ) l i m θ → 0 ( s e n ( θ ) θ ) 2 l i m θ → 0 2 θ s e n ( 2 θ )

também podemos entrar com o limite dentro do expoente, sendo assim

1 2 l i m θ → 0 θ 1 + c o s ( θ ) ( l i m θ → 0 s e n ( θ ) θ ) 2 l i m θ → 0 2 θ s e n ( 2 θ )

Os dois últimos limites são o limite fundamental, portanto

1 2 l i m θ → 0 θ 1 + c o s ( θ ) ( 1 ) 2 ( 1 ) = 1 2 l i m θ → 0 θ 1 + c o s ( θ ) = 0

Essa alternativa foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

l i m θ → 0 1 - c o s ( θ ) s e n ( 2 θ ) = 0

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)