b) Calcule, caso existam, os seguintes limites:

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x - sin ⁡ x x 3

Passo 1

Vamos lá. Como o primeiro passo na hora de calcular um limite é checar o que acontece se a gente substituir, partiu então. Substituindo, vamos ter:

tan ⁡ 0 - sin ⁡ 0 0 3 = 0 0

Opa, temos ai uma identerminação! Não pode! Vamos tentar reescrever então esse limite pra sumir com ela!

Passo 2

Como a função tem termos da trigonometria e uma potência de x , vamos tentar dar uma mechida aí pra poder escrever o limite fundamental trigonométrico, beleza? Isso porque sabemos que:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x = 1

Pra começar, vamos tirar a tangente daí, transformando ela em seno sobre cosseno:

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x - sin ⁡ x x 3 = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x cos ⁡ x - sin ⁡ x x 3 =   lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x 1 cos ⁡ x - 1 x 3

Ok, até ai nada mudou muito. Vamos buscar uma estratégia interessante aqui: colocar o termo de cos ⁡ x no denominador. Isso vai ajudar a gente porque cos ⁡ 0 = 1 e se a gente quer que a indeterminação pare de acontecer, temos que ter um denominador que não zere! Vamos lá então:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x 1 cos ⁡ x - 1 x 3 =   lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x 1 cos ⁡ x - cos ⁡ x cos ⁡ x x 3 = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x 1 - cos ⁡ x x 3   cos ⁡ x

Ainda ta zerando por causa do x 3 ali. Vamos tentar isolar esse x 3 então. Pra isso, vamos multiplicar em cima e em baixo pelo conjugado de 1 - cos ⁡ x . Saca só:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x 1 - cos ⁡ x x 3   cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x 1 - cos 2 ⁡ x x 3   cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x

Olha que sagaz, da relação trigonométrica mãe de todas, tiramos:

sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

1 - cos 2 ⁡ x = sin 2 ⁡ x

O nosso limite fica então:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x 1 - cos 2 ⁡ x x 3   cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x sin 2 ⁡ x x 3   cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sin 3 ⁡ x x 3   cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x

E agora sim a gente consegue isolar o x 3 . Usando propriedade dos limites, temos que:

lim x → 0 ⁡ sin 3 ⁡ x x 3   cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sin 3 ⁡ x x 3   ∙ lim x → 0 ⁡ 1   cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x

Agora é só substituir. O primeiro limite nada mais é do que o cubo do limite fundamental trigonométrico, logo:

lim x → 0 ⁡ sin 3 ⁡ x x 3   = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x 3 = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x 3 = 1 3 = 1

E o segundo limite não zera mais o denominador, logo:

lim x → 0 ⁡ 1   cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x = 1 cos ⁡ 0 1 + cos ⁡ 0 = 1 1 . 1 + 1 = 1 2

Por fim, o limite vai ser então:

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x - sin ⁡ x x 3 = 1 2

Resposta

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x - sin ⁡ x x 3 = 1 2

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Calcule. lim x → 0 ⁡ tg ⁡ x x
Calcule. lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x
Calcule. lim x → 0 ⁡ x - tg ⁡ x x + tg ⁡ x
Calcule. lim x → p ⁡ tg ⁡ x - p x 2 - p 2 , p ≠ 0
Calcule. lim x → p ⁡ sen ⁡ x 2 - p 2 x - p