1. Calcule os limites abaixo, se existirem.

c. lim x → 0 ⁡ ( x cos ⁡ 1 x + a e 2 x + 2 )   ,   e m   q u e   a ∈ R

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Temos um limite para resolver e de cara eu já te conto qual o problema dele: temos um cos ⁡ 1 x e não conseguimos calcular isso tão fácil. Por isso, a nossa solução aqui será aplicar o Teorema do confronto!

Para quem não lembra: imagine um sanduiche, então, que você quer calcular o limite de h ( x ) (será nosso recheio) para x → a e você sabe que:

f x ≤ h x ≤ g x

Ou seja, h x está entre f x e g x (os pães). Agora, você poderia jogar o limite em tudo, assim:

lim x → a ⁡ f x ≤ lim x → a ⁡ h x ≤ lim x → a ⁡ g x

Se, por acaso, tivermos que:

lim x → a ⁡ f x = lim x → a ⁡ g x = L

Então,

lim x → a ⁡ h x = L

No caso, nós temos que

h x = x cos ⁡ 1 x + a e 2 x + 2

Então precisamos escolher quem é a nossa f x e g x .

Passo 2

Então, pessoal, para definir quais serão as outras duas funções, vamos olhar para parte que nos causou o problema:

cos ⁡ 1 x

Lembra que a função seno, ela varia de - 1 até + 1 . Então temos isso aqui:

- 1 ≤ cos ⁡ 1 x ≤ + 1

Já temos uma relação, mas ainda não chegamos lá!

Passo 3

Repara agora que para transformamos a nossa função do meio em h x , nós só precisamos multiplica-la por x e somar +   a e 2 x + 2 . Para manter a relação valida, vamos fazer isso para cada ponta. Fica assim:

- x + a e 2 x + 2 ≤ x cos ⁡ 1 x + a e 2 x + 2 ≤ + x + a e 2 x + 2

Mas, além disso, temos o termo

Opaaa! Agora sim, encontramos a nossa f x e g x . Então bora calcular esses limites!

Passo 4

Resolvendo,

lim x → 0 ⁡ - x + a e 2 x + 2 = a e 2

E

lim x → 0 ⁡ + x + a e 2 x + 2 = a e 2

E

Ou seja,

lim x → 0 ⁡ - x + a e 2 x + 2 = lim x → 0 ⁡ + x + a e 2 x + 2 = a e 2

E

Logo,

lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ 1 x + a e 2 x + 2 = a e 2

Resposta

a e 2

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)