21) Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x → 0 ⁡ s e n 2 a x 2 x 4

Passo 1

Eaí minha gente, vamo detonar essa questão!

Esse limite tem uma cara de limite fundamental trigonométrico né? O nosso objetivo é fazer ele não ter apenas a cara, mas ser realmente um limite fundamental trigonométrico. Pra isso, uma boa ideia é começarmos abrindo esse produto pra tirar o quadrado. Daí:

s e n 2 a x 2 x 4 = s e n a x 2 x 2 ⋅ s e n a x 2 x 2

Caramba, foi só esse passinho e já estamos quase lá. Hora do pulo do gato!

s e n a x 2 x 2 = a a ⋅ s e n a x 2 x 2 = a ⋅ s e n a x 2 a x 2

Aee, conseguimos esboçar o limite trigonométrico!

Passo 2

Substituindo essa expressão dentro do limite, vamos ter que:

lim x → 0 ⁡ s e n 2 a x 2 x 4 = lim x → 0 ⁡ a ⋅ s e n a x 2 a x 2 ⋅ a ⋅ s e n a x 2 a x 2

Como esses limites existem separadamente, podemos separar os produtos:

lim x → 0 ⁡ a ⋅ s e n a x 2 a x 2 ⋅ a ⋅ s e n a x 2 a x 2 =   lim x → 0 ⁡ a ⋅ s e n a x 2 a x 2 ⋅   lim x → 0 ⁡ a ⋅ s e n a x 2 a x 2 = lim x → 0 ⁡ a ⋅ s e n a x 2 a x 2 2

Como a   é constante, podemos tirá-lo do limite:

lim x → 0 ⁡ a ⋅ s e n a x 2 a x 2 2 = a 2 lim x → 0 ⁡ s e n a x 2 a x 2 2  

Passo 3

Agora, pra matar de vez esse limite, vamos fazer a seguinte substituição:

u = a x 2 ∴ x → 0 ⇒ u = 0

a 2 lim x → 0 ⁡ s e n a x 2 a x 2 2 = a 2 ⋅ lim u → 0 ⁡ s e n u u 2 = a 2 ⋅ 1  

Prontoo, matamos mais uma questão!

lim x → 0 ⁡ s e n 2 a x 2 x 4 = a 2

Resposta

lim x → 0 ⁡ s e n 2 a x 2 x 4 = a 2

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)