Calcule o limite:

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ 3 x s e n 5 x 2 x   s e n 3 x tan ⁡ 5 x

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo na paz por aí?

CALMA, não se assusta com esse limite gigantesco aí! Às vezes (na maioria delas) quando aparece essas tangentes aí, elas estão escondendo o segredo da questão. E por que eu tô falando isso? Bem, você se lembra o que significa tan ⁡ x ?

tan ⁡ x = s e n x cos ⁡ x

Ou seja, podemos dizer que:

tan ⁡ 3 x = s e n 3 x cos ⁡ 3 x

tan ⁡ 5 x = s e n 5 x cos ⁡ 5 x

Tá, agora vamos aplicar isso dentro do nosso limite e ver o que acontece?

Passo 2

Vamos chamar f x = tan ⁡ 3 x s e n 5 x 2 x   s e n 3 x tan ⁡ 5 x

Logo,

f x = s e n 3 x s e n 5 x cos ⁡ 5 x 2 x cos ⁡ 3 x s e n 3 x s e n 5 x

f x = cos ⁡ 5 x 2 x cos ⁡ 3 x

Passo 3

Note que agora nossa função f ( x ) que estava dentro do cosseno ficou com uma carinha bem mais amigável, né?

Agora que a gente tem a função com uma carinha mais amigável, vamos aplicar o limite e ver o que acontecerá. Se der algum problema, a gente faz alguma manipulação, mas se der bom de início, encontramos já a resposta de cara!

Aplicando o limite:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 5 x 2 x cos ⁡ 3 x

Lembre-se que: cos ⁡ 0 = 1

Portanto, os cossenos que aparecem ali vão ter valor 1 , mas temos um x no denominador que tende a zero, logo teríamos algo como 1 / 0 que nos diz que esse limite terá valor de infinito.

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 5 x 2 x cos ⁡ 3 x = ∞

Pronto!! Chegamos no nosso resultado

Te espero na próxima questão!

Resposta

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ 3 x s e n 5 x 2 x   s e n 3 x tan ⁡ 5 x = ∞

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)