1. Calcule os limites abaixo:

l. lim x → 0 ⁡ x - sin ⁡ x x + sin ⁡ x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos um limite para resolver,

lim x → 0 ⁡ x - sin ⁡ x x + sin ⁡ x

Para isso, vamos aplicar o Limite Fundamental Trigonométrico, que diz:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1

Mas para podermos aplicar essa igualdade, vamos precisar mexer um pouco na função!

Passo 2

Vamos começar colocando x em evidência,

lim x → 0 ⁡ x - sin ⁡ x x + sin ⁡ x = lim x → 0 ⁡ x 1 - sin ⁡ x x x 1 + sin ⁡ x x

Simplificando, ficamos com

lim x → 0 ⁡ x - sin ⁡ x x + sin ⁡ x = lim x → 0 ⁡ 1 - sin ⁡ x x 1 + sin ⁡ x x

Repara que podemos escrever o nosso limite assim,

lim x → 0 ⁡ x - sin ⁡ x x + sin ⁡ x = lim x → 0 ⁡ 1 - sin ⁡ x x lim x → 0 ⁡ 1 + sin ⁡ x x

Agora vamos resolver cada limite em separado!

Passo 3

Começando pelo de cima, ficamos com

lim x → 0 ⁡ 1 - sin ⁡ x x = lim x → 0 ⁡ 1 - lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x

Aplicando o limite fundamental trigonométrico, ficamos com

lim x → 0 ⁡ 1 - sin ⁡ x x = 1 - 1 = 0

Vamos para o próximo!

Passo 4

Agora temos que

lim x → 0 ⁡ 1 + sin ⁡ x x = lim x → 0 ⁡ 1 + lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x

Aplicando o limite fundamental trigonométrico, ficamos com

lim x → 0 ⁡ 1 + sin ⁡ x x = 1 + 1 = 2

Agora vamos juntar tudo!

Passo 5

Com isso, temos que,

lim x → 0 ⁡ x - sin ⁡ x x + sin ⁡ x = lim x → 0 ⁡ 1 - sin ⁡ x x lim x → 0 ⁡ 1 + sin ⁡ x x

Substituindo,

lim x → 0 ⁡ x - sin ⁡ x x + sin ⁡ x = 0 2 = 0

Prontinho!

Resposta

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