Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Trigonométrico

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Enunciado

Calcule o limite, caso exista.

lim x → ∞ ⁡ x sen 3 ⁡ C x

Passo 1

Se eu substituir caímos numa indeterminação de ∞ 0 :

lim x → ∞ ⁡ x sen 3 ⁡ C x = ∞ sen ⁡ 0 = ∞ 0

Passo 2

A ideia aqui, então, é forçar aparecer o termo dentro do seno, que está zerando, embaixo dele próprio. No caso, o C x . Temos ali um seno ao cubo, então vou multiplicar em cima e embaixo por C x 3 :

lim x → ∞ ⁡ x sen 3 ⁡ C x = lim x → ∞ ⁡ x sen 3 ⁡ C x C x 3 C x 3

= lim x → ∞ ⁡ sen 3 ⁡ C x C x 3 x C x 3

Passo 3

Vou separar os limites fundamentais do resto:

lim x → ∞ ⁡ sen 3 ⁡ C x C x 3 x C x 3 = lim x → ∞ ⁡ sen 3 ⁡ C x C x 3 lim x → ∞ ⁡ x C x 3

= lim x → ∞ ⁡ sen ⁡ C x C x 3 lim x → ∞ ⁡ C 3 x 2

= lim x → ∞ ⁡ sen ⁡ C x C x 3 lim x → ∞ ⁡ C 3 x 2

Passo 4

Para resolver o primeiro limite precisamos de uma substituição u = C x . Nesse caso,

u = C x   ; x → ∞

u → C ∞ = 0

Substituímos o Limite Fundamental Trigonométrico no primeiro termo e o x → ∞ no segundo:

lim x → ∞ ⁡ sen ⁡ C x C x 3 lim x → ∞ ⁡ C 3 x 2 = lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u 3 lim x → ∞ ⁡ C 3 x 2

= 1 3 0

= 0

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x sen 3 ⁡ C x = 0

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