Calcule usando os limites fundamentais.

d ) lim x → 0 ⁡ ( x ⋅ sec ⁡ x ⋅ c o s s e c   x )

Passo 1

Bom dia, boa tarde, boa noiteeee gente linda!! Se tá difícil por aí, deixa que a gente te ajuda. Vamos resolver mais uma com muito ânimo e carinho? Bora lá!!

Essa é uma questão sobre limites de uma expressão matemática, sendo assim, devemos encontrar o valor da expressão quando o x tende a ser igual a “zero”.

Pimpolhos, qual é o primeiro passo que sempre sempre sempre devemos fazer??

Isso mesmo rs! Devemos substituir o valor a qual o x quer se tornar, na nossa questão esse valor é zero.

lim x → 0 ⁡ ( x ⋅ sec ⁡ x ⋅ c o s s e c   x ) =   lim x → 0 ⁡ ( 0 ⋅ sec ⁡ 0 ⋅ c o s s e c   0 )

=   lim x → 0 ⁡ ( x ⋅ 1 cos ⁡ 0 ⋅ 1 s e n   0 )

= 0 0

Vishhhh que problemão! Chegamos a uma indeterminação, e isso significa que a questão não tem resposta?? Nada disso, devemos apenas ter uma nova estratégia de resolução.

Passo 2

Prosseguindo...

Vamos reescrever a nossa expressão matemática considerando que sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x   e   c o s s e c   x = 1 s e n   x :

lim x → 0 ⁡ ( x ⋅ sec ⁡ x ⋅ cossec x ) = lim x → 0 ⁡ x ⋅ 1 cos ⁡ x ⋅ 1 sen ⁡ x  

Utilizando a seguinte propriedade de limites para o produto de funções:

lim x → a ⁡ f x ⋅ g ( x ) = lim x → a ⁡ f x ⋅ lim x → a ⁡ g x

= ⁡ lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ x ⋅ lim x → 0 ⁡ 1 sen ⁡ x    

Aqui chegamos a um ponto crucial! Lembra que o enunciado nos disse para utilizar limites fundamentais?? Pois bem, lhes apresento o seguinte limite fundamental:

lim x → 0 ⁡ s e n   x x = 1

Esse limite é fundamental para conseguirmos prosseguir em nossos cálculos. Sendo assim,

lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ x ⋅ lim x → 0 ⁡ 1 sen ⁡ x   = lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ x ⋅ 1  

Agora é a hora de substituir novamente o x por zero. Conduto dessa vez não podemos ter nenhuma indeterminação.

= lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ 0  

= 1

Beijinhos!!! Bebam água 😊

Resposta

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