30) Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x → - ∞ ⁡ x 2 ⋅ s e n ( x )

Passo 1

Fala gente bonita! Mais um limite pra gente resolver.

Aqui temos um problema, porque na maioria das vezes quando encontramos um limite envolvendo funções trigonométricas temos basicamente dois caminhos:

  1. Tentar encaixar no formato do limite fundamental da trigonometria.
  2. Tentar usar o teorema do confronto ou o teorema do anulamento devido ao fato do seno e do cosseno serem limitados.

Mas, nesse caso nada disso dá certo. A opção 1 não funciona porque o argumento do seno está tendendo a - ∞ , e era necessário que estivesse tendendo a zero. Já a opção 2 dá errado porque o termo que multiplica a função limitada (seno) não tende a zero quando x →   - ∞ .

Puts, o que fazemos agora?

Passo 2

Algo para ter em mente nesses casos é que, muitas vezes, quando praticamente não temos opção de como atacar o limite é porque na verdade trata-se de um limite indeterminado. Então bora tentar mostrar essa indeterminação.

Bom, a função seno está limitada:

- 1 ≤ s e n x ≤ 1

Então, ao multiplicarmos ela por x 2 , vale que:

- x 2 ≤ x 2 ⋅ s e n x ≤ x 2

Isso significa que a nossa função da questão, está limitada entre - x 2 e x 2 . Agora vem o toque final.

Quando x →   - ∞ ,   temos que:

- x 2 =   - ∞

x 2 = ∞

Logo, a nossa função f x = x 2 s e n ( x ) está oscilando entre - ∞   e , por isso, é indeterminada, não existe!

Resposta

Não existe.

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)