Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Trigonométrico

Elaboração Própria

Calcule o limite, caso exista.

lim x → 0 ⁡ 3 + sen ⁡ 2 x - 3 - tg ⁡ x x 5

Passo 1

Substituindo:

lim x → 0 ⁡ 3 + sen ⁡ 2 x - 3 - tg ⁡ x x 5 = 3 + sen ⁡ 0 - 3 - tg ⁡ 0 0 5 = 3 - 3 0 = 0 0

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Passo 2

Eu não faria ideia de como começar essa questão, não fosse essa diferença de raízes quadradas, que me faz lembrar daquela relação de produtos notáveis:

a - b a + b = a 2 - b 2

Onde o meu a seria a primeira raiz, b a segunda e o que eu tenho ali é um a - b . Vou multiplicar em cima e embaixo por a + b = 3 + sen ⁡ 2 x + 3 - tg ⁡ x :

lim x → 0 ⁡ 3 + sen ⁡ 2 x - 3 - tg ⁡ x x 5

= lim x → 0 ⁡ 3 + sen ⁡ 2 x - 3 - tg ⁡ x x 5 3 + sen ⁡ 2 x + 3 - tg ⁡ x 3 + sen ⁡ 2 x + 3 - tg ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ 3 + sen ⁡ 2 x - 3 - tg ⁡ x x 5 . lim x → 0 ⁡ 1 3 + sen ⁡ 2 x + 3 - tg ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 2 x + tg ⁡ x x 5 . lim x → 0 ⁡ 1 3 + sen ⁡ 2 x + 3 - tg ⁡ x

Passo 3

Gente, agora basta pegar um desses x do x 5 no denominador e dividir a tangente e o seno, abrindo ainda a tangente como seno sobre cosseno:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 2 x + sen ⁡ x cos ⁡ x x 5 . lim x → 0 ⁡ 1 3 + sen ⁡ 2 x + 3 - tg ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 2 x x + sen ⁡ x x 1 cos ⁡ x x 4 . lim x → 0 ⁡ 1 3 + sen ⁡ 2 x + 3 - tg ⁡ x

Passo 4

Agora, no primeiro termo do primeiro limite fundamental trigonométrico que apareceu ali temos que abrí-lo pela relação trigonométrica que diz que sen ⁡ 2 x = 2 sen ⁡ x cos ⁡ x em cima e embaixo para poder substitituí-lo:

lim x → 0 ⁡ 2 sen ⁡ x cos ⁡ x x + sen ⁡ x x 1 cos ⁡ x x 4 . lim x → 0 ⁡ 1 3 + sen ⁡ 2 x + 3 - tg ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ 2 cos ⁡ x sen ⁡ x x + sen ⁡ x x 1 cos ⁡ x x 4 . lim x → 0 ⁡ 1 3 + sen ⁡ 2 x + 3 - tg ⁡ x

Agora nós podemos Substituir os limites fundamentais trigonométricos por 1 e os valores que não geraram indeterminações. Você vai ver que o único problema é naquele x 4 no denominador e o último termo do limite:

lim x → 0 ⁡ 2 cos ⁡ x sen ⁡ x x + sen ⁡ x x 1 cos ⁡ x . lim x → 0 ⁡ 1 x 4 . lim x → 0 ⁡ 1 3 + sen ⁡ 2 x + 3 - tg ⁡ x

= 2 1 1 + 1 1 1 lim x → 0 ⁡ 1 x 4 . lim x → 0 ⁡ 1 3 + 0 + 3 + 0

= 3 lim x → 0 ⁡ 1 x 4 . lim x → 0 ⁡ 1 2 3 = 3 2 lim x → 0 ⁡ 1 x 4

Repara que para 1 x 4 com x indo a 0 nós vamos tender lateralmente pelos dois lados a + ∞ ! Então sua tendência é para + ∞ .

Resposta

lim x → 0 ⁡ 3 + sen ⁡ 2 x - 3 - tg ⁡ x x 5 = + ∞

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