28) Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x → ∞ ⁡ x - c o s ⁡ ( x ) x

Passo 1

Fala gente bonita, quem tá pronto pra matar outro limite?!

Temos aqui um limite que envolve função trigonométrica e também um monômio. Mas, nem tudo é o que parece. Aqui não é uma boa tentar usar o limite fundamental trigonométrico.

Isso porque o argumento do cosseno está tendendo a infinito. Então, mesmo que a gente consiga usar alguma identidade trigonométrica pra trocar o cosseno pelo seno, o seu argumento ainda vai estar tendendo pro infinito o que não se encaixa no limite fundamental trigonométrico.

Passo 2

Nesses casos, uma ótima sacada é usar o fato do seno e/ou do cosseno serem funções limitadas, para aplicar o teorema do anulamento. Relembrando rapidamente o que o teorema do anulamento diz:

Se f ( x ) é uma função limitada e g ( x ) tende a zero quando x → p , então:

lim x → p ⁡ g ⋅ f = 0

Mas antes de verificar essas hipóteses, vamos mexer um pouco no nosso limite pra que ele fique mais no formato desse teorema:

lim x → ∞ ⁡ x - c o s x x = lim x → ∞ ⁡ 1 - cos ⁡ x x = 1 - lim x → ∞ ⁡ cos ⁡ x x

Passo 3

Massa! Sendo agora h x = cos ⁡ x x , vamos verificar as hipóteses do teorema do anulamento:

  1. f x = c o s ⁡ ( x ) é limitada, pois - 1 ≤ cos ⁡ x ≤ 1
  2. lim x → ∞ ⁡ g ( x ) = lim x → ∞ ⁡ 1 x = 0

Pronto! Como as duas hipóteses são obedecidas, concluímos que:

lim x → ∞ ⁡ cos ⁡ x x = 0  

Assim:

lim x → ∞ ⁡ x - c o s ⁡ ( x ) x =   1 - lim x → ∞ ⁡ cos ⁡ x x = 1 - 0 = 1

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x - c o s ⁡ ( x ) x = 1

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
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Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)