12) Calcule cada limite, quando possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x → 1 ⁡ s e n π x 1 - x 2

Passo 1

Fala galerinha!

Como sempre fazemos, o primeiro passo é substituir x = 1 no limite e ver o que acontece:

lim x → 1 ⁡ s e n π x 1 - x 2 = 0 1 - 1 = 0 0

É pessoal, não tem vida fácil pra gente. Deu indeterminação matemática.

Mas bora se animar que esse vai ser rápido.

Passo 2

Nessa questão temos algo que é a cara do limite trigonométrico, exceto por esse 1 - x 2 . Algo que podemos fazer é usar o produto notável da diferença de quadrados, lembram?

a 2 - b 2 = a - b a + b

Pronto, vamos usar isso então:

1 - x 2 = ( 1 - x ) ( 1 + x )

Ok. Substituindo na expressão do limite temos que:

s e n π x 1 - x 2 = s e n π x 1 - x 1 + x

Mesmo que não pareça isso nos ajuda. Porque agora sabemos que o denominador só zera por causa desse ( 1 - x ) . A ideia então é usar o limite fundamental trigonométrico. O problema é que pra usá-llo, precisamos que o argumento do seno seja igual ao numerador, mas isso não acontece.

Nesse tipo de situação a gente quase sempre mexe no denominador pra fazê-lo ficar igual ao argumento, mas aqui vamos fazer o contrário.

Queremos que apareça o s e n π 1 - x . Então, vamos analisar esse cara:

s e n π 1 - x = s e n π - π x = s e n π cos ⁡ π x - s e n π x cos ⁡ π

Como s e n π = 0 e cos ⁡ π =   - 1 , temos que:

s e n π 1 - x = s e n ( π x )

Que toop! Quem diria hein? Substituindo então, temos que:

s e n π x 1 - x 2 = s e n π 1 - x 1 - x ⋅ 1 1 + x

Passo 3

Pronto, agora é só a gente aplicar o limite e usar a relação fundamental da trigonometria.

lim x → 1 ⁡ π π ⋅ s e n π 1 - x 1 - x ⋅ 1 1 + x = π ⋅ 1 ⋅ 1 2 = π 2  

Perfeito!!

Resposta

lim x → 1 ⁡ s e n π x 1 - x 2 = π 2

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)