20) Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x → 0 ⁡ t g π x t g x

Passo 1

Fala gente bonita! Bora matar mais uma questão?!

A ideia aqui é tentar encaixar isso no limite fundamental trigonométrico. Então vamos abrir essa expressão pra fazer aparecer logo os senos e cossenos:

t g π x t g x = s e n π x cos ⁡ π x ⋅ cos ⁡ x s e n x = s e n π x ⋅ 1 s e n x ⋅ cos ⁡ x cos ⁡ π x

Ótimo! Já dá pra ver uma carinha legal se formando na nossa expressão. Agora é o pulo do gato:

s e n π x ⋅ 1 s e n x ⋅ cos ⁡ x cos ⁡ π x = π x π x ⋅ x x ⋅ s e n π x ⋅ 1 s e n x ⋅ cos ⁡ x cos ⁡ π x

= π cos ⁡ x c o s π x ⋅ s e n π x π x ⋅ 1 s e n x x  

Olha que bonito! Praticamente já temos o nosso amado limite fundamental trigonométrico l i m x → 0 s e n x x

Passo 2

Vamos substituir por essa expressão dentro do limite e usar a propriedade do produto e do quociente para atingir o limite fundamental trigonométrico:

lim x → 0 ⁡ t g π x t g x = l i m x → 0   π cos ⁡ x c o s π x ⋅ s e n π x π x ⋅ 1 s e n x x =

=     l i m x → 0   π cos ⁡ x c o s π x ⋅   l i m x → 0   s e n π x π x ⋅ 1 l i m x → 0 s e n x x    

Lembrando que só podemos separar os limites desse jeito, porque cada um deles existe separadamente e assume um valor finito. Resolvendo cada um deles separadamente, vem:

  1. l i m x → 0   π cos ⁡ x c o s π x = π ⋅ 1 1 = π  
  2. l i m x → 0   s e n π x π x
  3. Usando a seguinte substituição: u = π x ∴ x → 0 ⇒ u → 0  

    Daí ficamos com:

    l i m x → 0   s e n π x π x = lim u → 0 ⁡ s e n u u   = 1

  4. l i m x → 0 s e n x x = 1

Passo 3

Prontinho! Agora é só substituir os valores encontrados no nosso limite. Daí vamos ter que:

lim x → 0 ⁡ t g π x t g x =   l i m x → 0   π cos ⁡ x c o s π x ⋅   l i m x → 0   s e n π x π x ⋅ 1 l i m x → 0 s e n x x = π ⋅ 1 ⋅ 1 1 = π

Resposta

lim x → 0 ⁡ t g π x t g x = π  

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)