32) Verifique se a função dada tem extensão contínua a toda reta R .

f x = - 1 + s e n x x - π 2

Passo 1

Oii gente, tudo bem com vocês?

Bom, primeiramente precisamos entender o que significa essa extensão contínua que o enunciado se referiu.

Sabe quando temos uma função que o denominador zera em determinado ponto, ou que ocorre algum tipo de indeterminação? Geralmente, o que ocorre é que a função não é definida nesse ponto justamente por causa dessas indeterminações. A ideia da extensão contínua é que quando ocorrer essas descontinuidades, mas os limites laterais nesse ponto convergirem, podemos definir a função de forma diferente nesse ponto de modo a gerar uma extensão contínua para f . Sacou a ideia?

Passo 2

Bora lá então. A primeira coisa que precisamos descobrir é onde f está com algum tipo de indeterminação (quase sempre essa indeterminação é porque o denominador zerou em algum ponto).

x - π 2 = 0 ⇔ x = π 2

Logo, quando x = π 2 temos uma indeterminação em f . Agora, vamos então calcular os limites laterais nesse ponto:

  1. lim x → π 2 - ⁡ - 1 + s e n x x - π 2 = 0  
  2. lim x → π 2 + ⁡ - 1 + s e n x x - π 2 =   0

Passo 3

Excelente! Os limites laterais convergem para o mesmo valor em x = π 2 . Isso significa que é possível gerar a extensão contínua de f ( x ) .

f x =   - 1 + s e n x x - π 2 ,       x ≠ π 2 0                                                 ,       x = π 2

Passo 4

Resposta

Sim, f x =   - 1 + s e n x x - π 2 ,       x ≠ π 2 0                                                 ,       x = π 2

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)