Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Trigonométrico

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Enunciado

Calcule o limite, caso exista.

lim x → 0 ⁡ sec ⁡ x - 1 x

Passo 1

Substituindo teremos indeterminação:

lim x → 0 ⁡ sec ⁡ x - 1 x = sec ⁡ 0 - 1 0 = 1 - 1 0 = 0 0

Passo 2

Olha, para esse cara, a princípio, não temos nenhum limite fundamental que possamos aplicar. Agora, tem ali um x no denominador e funções trigonométricas que me parece dar a entender que podemos achar um seno a partir desse sec ⁡ x - 1 do numerador.

Então, é o seguinte, vamos lembrar de uma relação da trigonometria:

1 + tg 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x → sec 2 ⁡ x - 1 = tg 2 ⁡ x

Po, repara, o numerador do meu limite pode ser multiplicado pelo conjugado dele, ou seja, sec ⁡ x + 1 , para gerar essa relação e ter tudo em função da tangente:

sec 2 ⁡ x - 1 = sec ⁡ x - 1 sec ⁡ x + 1 = tg 2 ⁡ x

Então multiplicamos esse cara por cima e por baixo da função, para manter a igualdade:

lim x → 0 ⁡ sec ⁡ x - 1 x sec ⁡ x + 1 sec ⁡ x + 1

= lim x → 0 ⁡ tg 2 ⁡ x x 1 + sec ⁡ x

Passo 3

Bom, escrevendo a tangente em função de seno e de cosseno, olha o que teríamos:

lim x → 0 ⁡ tg 2 ⁡ x x 1 + sec ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x 1 x 1 + sec ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x lim x → 0 ⁡ 1 cos 2 ⁡ x 1 + sec ⁡ x

Repara, no primeiro termo temos o limite fundamental trigonométrico! No segundo só existem termos que podemos substituir de primeira, lembrando que cos ⁡ 0 = sec ⁡ 0 = 1 :

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x lim x → 0 ⁡ 1 cos 2 ⁡ x 1 + sec ⁡ x = 1 0 1 1 2 1 + 1

= 1 2 0 = 0

Resposta

lim x → 0 ⁡ sec ⁡ x - 1 x = 0

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Determine o limite a seguir lim θ → 3 - ⁡ θ θ  
Calcule. lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x
Calcule. lim x → 0 ⁡ tg ⁡ x x
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