27) Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x → - 2 ⁡ x 2 - 4 ⋅ s e n 1 x + 2

Passo 1

Eaí pessoal, vamo matar mais uma questão!!

Sempre precisamos começar substituindo o valor da tendência de x na expressão. Ao fazermos isso, temos:

lim x → - 2 ⁡ x 2 - 4 ⋅ s e n 1 x + 2 = 0 ⋅ s e n 1 0

Que não conseguimos determinar, porque s e n 1 0 é indeterminado.

Poderíamos pensar em duas coisas: Tentar retirar a indeterminação ou tentar encaixar isso no limite fundamental trigonométrico.

O problema desses dois caminhos é que como a indeterminação está dentro do argumento, é muito difícil conseguir retirá-la. Além disso, para usar o limite fundamental trigonométrico, o argumento do seno precisa tender a zero, mas aqui acontece o contrário.

Nesse tipo de situação, em que o argumento da função trigonométrica está trazendo a indeterminação, é uma boa verificar se essa função não é limitada, pois caso ela seja podemos buscar usar o teorema do confronto ou o teorema do anulamento.

Passo 2

Vamos relembrar o teorema do anulamento:

Se f ( x ) é uma função limitada e g ( x ) tende a zero quando x → p , então:

lim x → p ⁡ g ⋅ f = 0

Beleza! O nosso trabalho agora é verificar se h x = x 2 - 4 ⋅ s e n 1 x + 2 obedece a essas hipóteses.

  1. f x = s e n 1 x + 2 ⇒ f é limitada, pois:
  2. - 1 ≤ s e n 1 x + 2 ≤ 1

  3. g x = x 2 - 4 tende a zero quando x →   - 2

Logo, as hipóteses foram obedecidas. Temos a tão esperada conclusão:

lim x → - 2 ⁡ x 2 - 4 ⋅ s e n 1 x + 2 = 0

Prontinho!!

Resposta

lim x → - 2 ⁡ x 2 - 4 ⋅ s e n 1 x + 2 = 0

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)