Calcule os limites abaixo

h )   lim x → 0 ⁡ e 5 x - e 3 x s e n 5 x - s e n ( 3 x )

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

A ideia é calcular esse limite aqui

lim x → 0 ⁡ e 5 x - e 3 x s e n 5 x - s e n 3 x

Nosso instinto é substituir x = 0 e ver no que dá, não é verdade? Vamos ver o que encontramos:

lim x → 0 ⁡ e 5 x - e 3 x s e n 5 x - s e n 3 x = e 0 - e 0 0 - 0 = 0 0

Uma indeterminação! Ou seja: precisamos manipular esse limite para conseguirmos levantar essa indeterminação!

Mas calma! Antes vamos relembrar de duas coisas: dos limites fundamentais (trigonométricos e envolvendo exponenciais) e de uma identidade trigonométrica (meio obscura) muito útil!

Primeiro a identidade trigonométrica

s e n a - s e n b = 2 cos ⁡ a + b 2 s e n a - b 2

Beleza?

E, por fim, estão aqui os limites que você precisa ter na manga para resolver qualquer questão assim:

E aí? E depois? Depois é #partiu #manipulação para deixar o nosso limite com a cara de um limite fundamental! Assim vamos conseguir usar os resultados e calcular o nosso limite de boas!

Então a ideia é usar essas informações para calcular o nosso limite!

Mas relaxa!

Vamos fazer passo a passo, juntinhos!

Passo 2

Primeiro vamos olhar para nosso limite

lim x → 0 ⁡ e 5 x - e 3 x s e n 5 x - s e n 3 x = lim x → 0 ⁡ e 3 x ( e 2 x - 1 ) s e n 5 x - s e n 3 x

Comecei colocando e 3 x em evidência! A ideia aqui é usar o terceiro limite fundamental da caixa em azul

lim u → 0 ⁡ e u - 1   u = 1

Beleza? Agora precisamos arrumar esse denominador... vamos usar a identidade trigonométrica!

s e n a - s e n b = 2 cos ⁡ a + b 2 s e n a - b 2

No nosso caso a = 5 x ,   b = 3 x :

s e n 5 x - s e n 3 x = 2 cos ⁡ 8 x 2 s e n 2 x 2 = 2 cos ⁡ 4 x s e n ( x )

E bora substituir no nosso limite

lim x → 0 ⁡ e 3 x ( e 2 x - 1 ) s e n 5 x - s e n 3 x = lim x → 0 ⁡ e 3 x ( e 2 x - 1 ) 2 cos ⁡ 4 x s e n ( x )

Mas melhorou! E eu vou te mostrar! No denominador temos agora c o s ⁡ ( 4 x ) e que quando x → 0 , cos ⁡ 0 = 1 , já é menos uma indeterminação! E agora? Agora temos um seno embaixo e aquele parênteses em cima, já vamos bem misturar dois limites fundamentais!

Vem comigo!

Passo 3

A ideia agora é #manipulação

lim x → 0 ⁡ e 3 x e 2 x - 1 2 cos ⁡ 4 x s e n x

Sabemos que o produto dos limites é o limite dos produtos, então olha só, vamos separar tudo que não gera indeterminação:

lim x → 0 ⁡ e 3 x e 2 x - 1 2 cos ⁡ 4 x s e n x = lim x → 0 ⁡ e 3 x cos ⁡ 4 x ⏝ = 1 . lim x → 0 ⁡ e 2 x - 1 2 s e n x

E aquele segundo limite? Vou te lembrar desses dois limites fundamentais:

lim x → 0 ⁡ s e n x x = 1

lim u → 0 ⁡ e u - 1   u = 1

O que faltam neles? Um x ! Se multiplicarmos e dividirmos por x o segundo limite vamos poder combinar esses dois resultados!

lim x → 0 ⁡ e 3 x cos ⁡ 4 x ⏝ = 1 . lim x → 0 ⁡ e 2 x - 1 2 s e n x = 1 . lim x → 0 ⁡ e 2 x - 1 2 s e n x ⋅ x x

= lim x → 0 ⁡ e 2 x - 1 2 x ⋅ x s e n x ⏝ 1.1 = 1 = 1

E taí nosso resultado!

lim x → 0 ⁡ e 5 x - e 3 x s e n 5 x - s e n 3 x = 1

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

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