Determine os limites nos seguintes exercícios.

e )   l i m θ → 0 s e n ( θ ) s e n ( 2 θ )

Passo 1

Oiiie, tudo bem com você?

Temos que determinar o seguinte limite

l i m θ → 0 s e n ( θ ) s e n ( 2 θ )

este exercício estava na seção de limites fundamentais! Então isso já é uma dica por si só, mas qual deles iremos usar? Usualmente quando temos funções seno, podemos usar o limite fundamental trigonométrico

l i m θ → 0 s e n ( θ ) θ = 1

Mas claro, vamos precisar reescrever esse problema um pouquinho! Vamos lá!

Passo 2

Note que substituir θ = 0 nos leva a uma indeterminação do tipo 0 / 0 então o limite não se resolve assim, e, da forma como está escrito, não temos exatamente o limite fundamental indicado. Como fazer ele aparecer? Note que o único problema aqui é o fato de termos dois senos ao invés de um seno e de um teta! Mas, e se tivéssemos thetas suficientes para ambos os senos? Isso pode ser feito se dividirmos e multiplicarmos o limite por 2 θ / 2 θ , obtendo

l i m θ → 0 s e n ( θ ) s e n ( 2 θ ) 2 θ 2 θ = 1 2 l i m θ → 0 s e n ( θ ) θ 1 s e n ( 2 θ ) / 2 θ

para entender a segunda passagem é legal lembrar que quando tem divisões de frações você mantém a “fração” de cima e multiplica pelo inverso da de baixo! De qualquer forma, como podemos agora aplicar o limite em cada termo individualmente, podemos garantir que

l i m θ → 0 s e n ( θ ) s e n ( 2 θ ) = 1 2 l i m θ → 0 s e n ( θ ) θ 1 l i m θ →   0 s e n ( 2 θ ) 2 θ = 1 2 ( 1 ) 1 ( 1 )

ou simplesmente

l i m θ → 0 s e n ( θ ) s e n ( 2 θ ) = 1 2

em que usei o limite fundamental duas vezes! A questão foi essa! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

l i m θ → 0 s e n ( θ ) s e n ( 2 θ ) = 1 2

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)