Calcule, caso exista, cada item abaixo

a )   lim x → ∞ ⁡ x 5 - 2 x 3 - 4 4 x 5 - 2 x 2 1 + 1 x 4 x + 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar aqui! Precisamos calcular esse limite:

Nosso instinto é sair substituindo x por infinito, então vamos lá

lim x → ∞ ⁡ x 5 - 2 x 3 - 4 4 x 5 - 2 x 2 1 + 1 x 4 x + 2 = ∞ ∞ 1 ∞

Opa! Temos duas (uma não, DUAS) indeterminações! E agora, como resolver um limite desses?

Mas calma! O limite tem uma propriedade muito legal que é: o limite do produto é o produto dos limites! Então podemos resolver as indeterminações separadamente, e depois multiplicar os resultados!

Olhando nosso limite com mais carinho, vemos que podemos separar em um produto de uma razão de polinômios e a parte exponencial

lim x → ∞ ⁡ x 5 - 2 x 3 - 4 4 x 5 - 2 x 2 1 + 1 x 4 x + 2 = lim x → ∞ ⁡ x 5 - 2 x 3 - 4 4 x 5 - 2 x 2 . lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x 4 x + 2

Você lembra como resolver a parte polinomial? Assim:

  • Identificar o termo dominante (maior expoente) e colocar ele em evidência
  • Analisar o limite no infinito novamente, lembrando que lim x → ± ∞ ⁡ 1 x n = 0 para n ≥ 1

Beleza?

E a outra parte? Essa aí merece um alerta... ALERTA TRUQUE SUJO

Quando tivermos algo do tipo 1 ∞ precisamos lembrar do limite fundamental da exponencial

lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x x = e

Então a ideia é manipular a parte exponencial para utilizar a definição do ( e ) !

Bora começar?

Mas relaxa, vou fazer junto com você!

Passo 2

Passo 3

Vamos analisar a parte polinomial

lim x → ∞ ⁡ x 5 - 2 x 3 - 4 4 x 5 - 2 x 2

O termo predominante aí é o x 5 . Então a ideia aqui é colocar x 5 em evidência tanto no denominador quanto no numerador:

lim x → ∞ ⁡ x 5 1 - 2 x 2 - 4 x 5 x 5 4 - 2 x 3   = lim x → ∞ ⁡ 1 - 2 x 2 - 4 x 5 4 - 2 x 3  

Tudo bem até aqui?

x , os termos do tipo 1 x n , para qualquer n ≥ 1 vão a zero! Então ficamos apenas com as constantes na razão:

lim x → ∞ ⁡ 1 - 2 x 2 ⏝ = 0 - 4 x 5 ⏝ = 0 4 - 2 x 3   ⏝ = 0 = 1 4

Ok! Chegamos ao valor do limite da parte polinomial!

Nossa missão agora é encontrar o da parte exponencial!

Passo 4

Agora nossa missão é achar o valor desse limite aqui

lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x 4 x + 2

Primeiramente vamos separar esse expoente em dois fatores, um elevado a 4 x e outro a 2 , pois lembra que queremos usar o resultado do limite fundamental

lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x x = e

Separando os fatores no nosso limite temos

lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x 4 x + 2 = lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x 4 x . 1 + 1 x 2

Podemos usar a propriedade do limite do produto, para separar em outros dois esses limites

lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x 4 x . lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x 2

Estamos quase lá!

Analisando o limite da direita temos

lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x 2 = 1 + 1 ∞ 2 = 1 + 0 2 = 1

Oba! Agora no da esquerda podemos colocar aquela potência 4 para fora:

lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x 4 x = lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x x 4

Tcharan! Agora usar o resultado do limite fundamental!

= e 4

Prontinho! O resultado do limite da direita fica assim

lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x 4 x + 2 = 1 . e 4 = e 4

Beleza?

Agora vamos recapitular nosso limite e juntar todos esses resultados!

Passo 5

Nosso limite era esse aqui

lim x → ∞ ⁡ x 5 - 2 x 3 - 4 4 x 5 - 2 x 2 1 + 1 x 4 x + 2

Dividimos em duas partes:

lim x → ∞ ⁡ x 5 - 2 x 3 - 4 4 x 5 - 2 x 2 . lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x 4 x + 2

No passo 2 calculamos o limite mais à esquerda:

lim x → ∞ ⁡ x 5 - 2 x 3 - 4 4 x 5 - 2 x 2 = 1 4

E no passo 3 o mais à direita:

lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x 4 x + 2 = e 4

Organizando esses resultados temos o nosso limite (lembrando que o limite do produto é o produto dos limites):

lim x → ∞ ⁡ x 5 - 2 x 3 - 4 4 x 5 - 2 x 2 1 + 1 x 4 x + 2 = 1 4 e 4

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

1 4 e 4

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