Calcule ou mostre que não existe (Não use qualquer artifício que envolva derivada).

  1. lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x sin ⁡ x / ( x - sin ⁡ x )
  2. lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 4 x + x x

Passo 1

Falaa, pessoal! Para resolvermos sem derivada devemos fazer uso dos limites fundamentais e utilizaremos alguns artifícios macaqueados para que surjam tais limites. Tais como:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x sin ⁡ x x - sin ⁡ x = lim x → 0 ⁡ 1 + sin ⁡ x x - 1 sin ⁡ x x - sin ⁡ x =

= lim x → 0 ⁡ 1 + sin ⁡ x - x x x sin ⁡ x - x + 1

Repare que pelo limite fundamental l i m x → 0 sin ⁡ x x = 1 , temos para u x = x - sin ⁡ x x que:

lim x → 0 ⁡ u ( x ) = l i m x → 0 x - sin ⁡ x x = l i m x → 0 1 - sin ⁡ x x = 0 +

Onde o + vem do fato de que a razão se aproxima por baixo de 1:

Logo, fazendo a mudança de variável x → u , temos:

lim x → 0 ⁡ 1 + sin ⁡ x - x x x x - sin ⁡ x - 1 = lim u → 0 + ⁡ 1 - u 1 u + 1 =

= lim u → 0 + ⁡ 1 - u 1 u ⋅ lim u → 0 + ⁡ 1 - u = lim u → 0 + ⁡ 1 - u 1 u

Isso nos lembra do limite fundamental e da aproximação para x → 0 :

lim x → 0 + ⁡ 1 + x 1 x = e               1 + αx n ⁡ ≈ 1 + n α x

Assim, 1 - u - 1 ≈ 1 + u e:

lim u → 0 + ⁡ 1 - u 1 u = lim u → 0 + ⁡ 1 + u - 1 u = lim u → 0 + ⁡ 1 + u 1 u - 1 = e - 1  

Onde podemos passar o limite para dentro da função x - 1 pois esta é contínua em e . Logo, conclui-se que:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x sin ⁡ x x - sin ⁡ x = 1 e

Resposta

1 / e

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)