Determine:

lim x → 0 ⁡ x 2 + t g ( 4 x ) x

Passo 1

Falaa, beleza?? Bora lá para mais um probleminha, nesse aqui podemos começar colocando o valor de x e ver o que ocorre:

lim x → 0 ⁡ x 2 + t g ( 4 x ) x = 0 + t g ( 0 ) 0 = 0 0

Uma indeterminação do tipo 0 0 , ou seja, temos que achar uma forma de mexer na expressão e ver se esse limite terá de fato um valor.

Para isso, vamos tentar abrir limite da seguinte forma:

lim x → 0 ⁡ x 2 + t g ( 4 x ) x = lim x → 0 ⁡ x 2 x + t g 4 x x

Ou seja

lim x → 0 ⁡ x + t g 4 x x

A intenção de fazer isso é fazer aparecer o termo x , que possui limite trivial quando vai para zero (será zero) e t g 4 x x , esse segundo é interessante pois podemos tentar ligar com o limite fundamental trigonométrico.

Passo 2

Bora ver que:

t g 4 x x = s e n 4 x xcos ⁡ 4 x

Ou seja, podemos escrever:

lim x → 0 ⁡ x + s e n 4 x xcos ⁡ 4 x

E por isso, temos:

lim x → 0 ⁡ x + lim x → 0 ⁡ s e n 4 x xcos ⁡ 4 x

Ou seja

= lim x → 0 ⁡ s e n 4 x xcos ⁡ 4 x

Mas veja que:

= lim x → 0 ⁡ s e n 4 x ( 4 x ) ∙ 4 c o s ⁡ ( 4 x )

Agora conseguimos analisar melhor, bora lá:

Passo 3

Bora notar que:

lim x → 0 ⁡ s e n 4 x ( 4 x ) = 1

Pois é um limite fundamental trigonométrico do tipo s e n y y , além disso:

lim x → 0 ⁡ 4 c o s ⁡ ( 4 x ) =   lim x → 0 ⁡ 4 1 = 4

Ou seja, temos que:

= lim x → 0 ⁡ s e n 4 x 4 x ∙ 4 cos ⁡ 4 x = 1 4 = 4

E assim chegamos ao fim de mais um probleminha, bora para o próximo?

Resposta

4

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