Calcule usando os limites fundamentais.

f ) lim x → 0 ⁡ t g   x   x  

Passo 1

E aii, gente bonita! Talvez quando vocês leram essa questão, ficaram meio…

Maas, aqui juntos vamos deixar ela com uma carinha mais amigável. Bora??

Então bora!!

Temos que calcular o limite de lim x → 0 ⁡ t g   x   x quando x tende a zeroooo. Bom, e como vamos fazer isso pessoal?? lembrando que a questão nos dá uma dica valiosa que é a de utilizar um limite fundamental.

A princípio vamos começar substituindo o x por zero, a vez que a questão é de limites, então devemos começar primeiro substituindo o valor de x correspondente.

lim x → 0 ⁡ t g   x   x   = lim x → 0 ⁡ t g   0   0  

E como o limite de uma constante é sempre a própria constante, independentemente de para onde o x está tendendo. Assim,

lim x → 0 ⁡ t g   x   x = 0 0

Hummm.... chegamos a um resultado inconclusivo. Isso porque não é possível afirmar com certeza se o resultado dessa divisão vai ser zero ou um.

Passo 2

Como o nosso procedimento inicial não nos permitiu concluir nada, vamos agora fazer algumas manipulações matemáticas baseando se na seguinte relação fundamental :

lim x → 0 ⁡ s e n   x x   =   1

Dessa forma,

lim x → 0 ⁡ t g   x   x   = lim x → 0 ⁡   s e n   x c o s c o s   x   x  

= lim x → 0 ⁡ s e n   x c o s c o s   x   ⋅ 1 x  

=   lim x → 0 ⁡ [ s e n   x x ⋅ 1   c o s c o s   x   ]    

E como existe uma propriedade em limites que afirma que o limite de um produto de funções é igual ao produto dos limites de cada função. Ou seja,

lim x → 0 ⁡ [ f ( x ) ∙ g ( x ) ]   = lim x → 0 ⁡ f ( x ) ∙ lim x → 0 ⁡ g ( x )  

Passo 3

Portanto, implementando a propriedade que vimos no passo anterior. Temos que,

=   1 ⋅ lim x → 0 ⁡ 1   c o s c o s   x    

= 1 ⋅ lim x → 0 ⁡ 1   c o s c o s   0    

= 1 ⋅ 1 = 1

Pessoal, olha a “lindeza” que deu esse cálculo! Saímos de uma expressão que aparentemente não havia resultado e após certas manipulações chegamos a um resultado concreto de fato. Espero que vocês consigam tirar proveito desse tipo de resolução, certamente aparecerá algo nesse estilo em suas listas e provas. Bons estudos por aí!

Resposta

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