13) Calcule cada limite, quando possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x → π ⁡ s e n t g x t g x

Passo 1

Eaí minha gente, bora destruir outro limite!

A primeira coisa que devemos fazer é substituir x = π na expressão do limite e ver o que acontece.

lim x → π ⁡ s e n t g x t g x = s e n t g π t g π = 0 0

Como já era esperado, temos uma indeterminação matemática. Bora pensar de outro jeito então.

Passo 2

Algo interessante a perceber aqui é que esse limite parece muito com o limite fundamental trigonométrico. Só que ele tem uma coisa diferente, no argumento não temos um “ x ”, mas sim uma outra função trigonométrica.

O legal é que isso não é um problema, desde que tanto o argumento como o denominador estejam tendendo a zero. Uma forma de ver isso é que podemos simplesmente fazer uma mudança de variáveis:

t g x = u ∴ x → π ⇒ u → 0

Substituindo no limite, temos que:

lim x → π ⁡ s e n t g x t g x = lim x → 0 ⁡ s e n u u

Isso, como nós sabemos, é justamente o limite fundamental. Portanto vale 1.

Resposta

lim x → π ⁡ s e n t g x t g x = 1

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)