22) Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ a x x 2

Passo 1

Eaí galera do Responde aí! Tudo bom com vocês?

Esse limite tem a cara do limite fundamental trigonométrico, porque tem uma função trigonométrica no numerador e um monômio no denominador. Vamos tentar deixar ele mais parecido ainda.

Nesse tipo de questão algumas propriedades trigonométricas são bem importantes, como estou querendo sair do cosseno e chegar no seno, podemos usar a seguinte identidade trigonométrica:

cos ⁡ a x = 1 - 2 s e n 2 a x 2  

⇒ 1 - cos ⁡ a x = 2 s e n 2 a x 2  

Daí, vem que:

1 - cos ⁡ a x x 2 = 2 s e n 2 a x 2 x 2

Passo 2

Estamos quase no limite fundamental trigonométrico. Mas tem duas coisas nos atrapalhando. A primeira é que o seno está ao quadrado, e a segunda é que o argumento do seno ainda não tá aparecendo no denominador. Então bora pra manipulação matemática:

2 s e n 2 a x 2 x 2 = 2 ⋅ s e n a x 2 x ⋅ s e n a x 2 x =  

= 2 ⋅ a 2 4 ⋅ s e n a x 2 a x 2 ⋅   s e n a x 2 a x 2

Passo 3

Opa, então já temos a expressão no formato bonitinho do nosso querido limite fundamental trigonométrico. Então agora é só usar a substituição de variável no limite, fazendo:

u = a x 2 ∴ x → 0 ⇒ u → 0

⇒ lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ a x x 2 =   l i m x → 0   2 ⋅ a 2 4 ⋅ s e n a x 2 a x 2 ⋅   s e n a x 2 a x 2 = a 2 2 ⋅ lim u → 0 ⁡ s e n u u ⋅   lim u → 0 ⁡ s e n u u    

Daí finalmente chegamos que:

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ a x x 2 = a 2 2

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ a x x 2 = a 2 2

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)