3. Calcule os seguintes limites (Não pode usar a regra de L ’ H ô s p i t a l ):

f) lim h → 0 ⁡ sec ⁡ h - 1 t g 2 2 h

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, estamos interessados em calcular alguns limites, porém a única regra é que não podemos usar a regra de L ' H o p i t a l .

Entendeu?

A regra de L ' H o p i t a l nos ajuda muito quando temos uma indeterminação como resultado de um limite pelo método da substituição.

Porém existem alguns outros métodos que podemos aplicar a algumas analises matemáticas, com isso, vamos ter que analisar cada caso separadamente para ver qual é a melhor maneira de resolver o problema.

Sacou? Bora lá! 😁

Passo 2

O limite que temos que calcular é

lim h → 0 ⁡ sec ⁡ h - 1 t g 2 2 h

Pelas relações trigonométricas, temos que lembrar que sec ⁡ h = 1 cos ⁡ h e t g 2 h = 2 t g h 1 - t g 2 h para h = 0 .

lim h → 0 ⁡ 1 cos ⁡ h - 1 2 t g h 1 - t g 2 h 2

Se t g h = s e n h cos ⁡ h , então

lim h → 0 ⁡ 1 cos ⁡ h - 1 2 s e n h cos ⁡ h 1 - s e n h cos ⁡ h 2 2 → lim h → 0 ⁡ 1 cos ⁡ h - 1 2 s e n h cos ⁡ h 2 1 - s e n h cos ⁡ h 2 2 → lim h → 0 ⁡ 1 - s e n h cos ⁡ h 2 2 1 cos ⁡ h - 1 2 s e n h cos ⁡ h 2

Podemos separar esse limite como o produto dos limites

lim h → 0 ⁡ 1 - s e n h cos ⁡ h 2 2 1 cos ⁡ h - 1 2 s e n h cos ⁡ h 2 = lim h → 0 ⁡ 1 - s e n h cos ⁡ h 2 2 · lim h → 0 ⁡ 1 cos ⁡ h - 1 2 s e n h cos ⁡ h 2

Pelo método de substituição, vemos que o primeiro limite é

lim h → 0 ⁡ 1 - s e n h cos ⁡ h 2 2 = 1 - 0 1 2 2 = 1

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora temos que desenvolver o segundo limite um pouco mais

lim h → 0 ⁡ 1 cos ⁡ h - 1 2 s e n h cos ⁡ h 2 → lim h → 0 ⁡ 1 cos ⁡ h - 1 4 s e n 2 h cos 2 ⁡ h

Multiplicando tudo por c o s 2 h

lim h → 0 ⁡ 1 cos ⁡ h - 1 4 s e n 2 h cos 2 ⁡ h · c o s 2 h c o s 2 h

lim h → 0 ⁡ cos ⁡ h 1 - c o s h 4 s e n 2 h → lim h → 0 ⁡ cos ⁡ h 4 · lim h → 0 ⁡ 1 - c o s h s e n 2 h

O primeiro limite já pode ser calculado a partir do método de substituição

lim h → 0 ⁡ cos ��� h 4 = 1 4

Multiplicando o segundo limite pelo conjugado de 1 - c o s h , vamos obter

lim h → 0 ⁡ 1 - c o s h s e n 2 h · 1 + c o s h 1 + c o s h → lim h → 0 ⁡ 1 - c o s 2 h s e n 2 h 1 + c o s h

Mas o que é 1 - c o s 2 h ? s e n 2 h , não é?

lim h → 0 ⁡ s e n 2 h s e n 2 h 1 + c o s h = lim h → 0 ⁡ 1 1 + c o s h

Aplicando o método da substituição...

lim h → 0 ⁡ 1 1 + c o s h = 1 2

Catando as migalhas que deixamos no caminho da resolução, vamos obter que

lim h → 0 ⁡ sec ⁡ h - 1 t g 2 2 h = lim h → 0 ⁡ 1 - s e n h cos ⁡ h 2 2 · lim h → 0 ⁡ 1 cos ⁡ h - 1 4 s e n 2 h cos 2 ⁡ h

lim h → 0 ⁡ sec ⁡ h - 1 t g 2 2 h = lim h → 0 ⁡ 1 - s e n h cos ⁡ h 2 2 · lim h → 0 ⁡ cos ⁡ h 4 · lim h → 0 ⁡ 1 1 + c o s h

lim h → 0 ⁡ sec ⁡ h - 1 t g 2 2 h = 1 · 1 4 · 1 2

lim h → 0 ⁡ sec ⁡ h - 1 t g 2 2 h = 1 8

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

lim h → 0 ⁡ sec �� h - 1 t g 2 2 h = 1 8

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Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
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Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)