Calcule usando os limites fundamentais.

h ) lim x → 0 ⁡ 3 x ² t g x   s e n x

Passo 1

Alooo, é aqui que temos alunos aplicadíssimos e animados com essa questão??

Ebaa, é sim!! Vamos então…

A questão nos pede para calcularmos o valor do seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ 3 x ² t g x   s e n x

Tá, agora traduz? Hahaha

Basicamente, vamos ter que encontrar o valor da expressão matemática quando o valor de x se aproximar bemmm próximo de zero. Não só, mas também devemos utilizar um limite fundamental para nos auxiliar nesse resolução.

Contudo, como a questão é de limites é crucial começarmos substituindo o valor para o qual o x tende na nossa expressão. Porque pode ser que o limite nem exija um método de resolução mais apurado, então é importante sempre verificar.

Assim,

lim x → 0 ⁡ 3 x ² t g x   s e n x =   lim x → 0 ⁡ 3 ( 0 ) ² t g ( 0 )   s e n ( 0 ) = 0 0

Uma vez que o limite de uma constante sempre sempre sempre será a própria constante.

Passo 2

Precisamos então, manipular a nossa expressão algébrica com o intuito de utilizar o limite fundamental mais “famoso”:

lim x → 0 ⁡ s e n   x x = 1

Com isso, bora botar a mão na massa! Sendo t g   x   =   s e n   x c o s   x :

lim x → 0 ⁡ 3 x ² t g x   s e n x =   lim x → 0 ⁡ 3 x ² s e n ² x cos ⁡ x  

=   lim x → 0 ⁡ 3 x 2 cos ⁡ x s e n 2 x

E como vimos no passo anterior que o limite de uma constante é a própria constante, poderemos “botar para fora” o 3 .

= 3 ⋅ lim x → 0 ⁡ x 2 cos ⁡ x s e n 2 x

Passo 3

Galerinhaaaa! Agora vamos ter que utilizar a seguinte propriedade de limites:

lim x → 0 ⁡ [ f ( x ) ∙ g ( x ) ]   = lim x → 0 ⁡ f ( x )   ∙ lim x → 0 ⁡ g ( x )

Dessa maneira,

= 3 ⋅ lim x → 0 ⁡ x 2 s e n 2 x ⋅ lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x

Agora só falta substituir os valores correspondentes.

= 3 ∙ 1 ² ∙ lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 0

= 3

Show de bolinhas??? Bora continuar nos exercitando com mais probleminhas de limites!

Resposta

3

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