c) Calcule, caso existam, os seguintes limites:

lim x → 2 - ⁡ sin ⁡ x 2 - 4 x 3 - 5 x 2 + 8 x - 4

Passo 1

Vamos lá. Como o primeiro passo na hora de calcular um limite é checar o que acontece se a gente substituir, partiu então. Substituindo, vamos ter:

sin ⁡ 2 2 - 4 2 3 - 5 . 2 2 + 8.2 - 4 = sin ⁡ 4 - 4 8 - 20 + 16 - 4 = 0 0

Opa, temos ai uma identerminação! Não pode! Vamos tentar reescrever então esse limite pra sumir com ela!

Passo 2

A primeira coisa que a gente tem que notar nesse limite maluco é que temos um polinômio no interior do seno! Ok mas e dai? Veja bem, se tivermos algo do tipo:

lim x → 2 ⁡ sin ⁡ x 2 - 4 x 2 - 4

Podemos fazer a substituição:

u = x 2 - 4

x → 2                   ;               u → 4 - 4 = 0

E esse limite seria reescrito para o famoso e querido limite fundamental trigonométrico:

lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u = 1

Então vamos tentar reescrever o limite pra deixar um sin ⁡ x 2 - 4 x 2 - 4 pendurado. Multiplicando em cima e em baixo por x 2 - 4 , temos:

lim x → 2 - ⁡ sin ⁡ x 2 - 4 x 3 - 5 x 2 + 8 x - 4 x 2 - 4 x 2 - 4 =   lim x → 2 - ⁡ sin ⁡ x 2 - 4 x 2 - 4 ∙ x 2 - 4 x 3 - 5 x 2 + 8 x - 4

Usando as propriedades dos limites, temos que:

lim x → 2 - ⁡ sin ⁡ x 2 - 4 x 2 - 4 ∙ x 2 - 4 x 3 - 5 x 2 + 8 x - 4 = lim x → 2 - ⁡ sin ⁡ x 2 - 4 x 2 - 4   ∙ lim x → 2 - ⁡ x 2 - 4 x 3 - 5 x 2 + 8 x - 4

Como um desses limites é o limite fundamental trigonométrico, a gente resume o limite do enunciado para:

lim x → 2 - ⁡ sin ⁡ x 2 - 4 x 3 - 5 x 2 + 8 x - 4 = lim x → 2 - ⁡ x 2 - 4 x 3 - 5 x 2 + 8 x - 4

Passo 3

Nesse passo vamos calcular o limite sem o seno e depois partir pro abraço, beleza? Infelizmente ainda não dá pra calcular direto porque:

lim x → 2 - ⁡ x 2 - 4 x 3 - 5 x 2 + 8 x - 4 = 0 0

Vamos manipular os polinômios então. Começando pelo numerador, que nada mais é do que uma diferença de quadrados! Usando o produto notável:

x - a x + a = x 2 - a 2

Reescrevemos o limite para:

lim x → 2 - ⁡ x 2 - 4 x 3 - 5 x 2 + 8 x - 4 = lim x → 2 - ⁡ x - 2 x + 2 x 3 - 5 x 2 + 8 x - 4

Beleza, agora o denominador. Infelizmente esse vai ser um pouco mais complicado porque não tem produto notável que resolva. Mas como sabemos que x = 2 é uma raiz, podemos fazer Briot-Ruffini, não é mesmo? Então vamos lá. Seguindo os passos: colocamos a raíz na casa mais a esquerda e escrevemos os coeficientes de cada potência de x em ordem decrescente de potência. Ficamos com:

2

1

-5

8

-4

Descemos o primeiro termo pra casa de baixo, multiplicamos pela raiz e somamos ao coeficiente seguinte, colocando o resultado na casa do lado. Vamos ficar com:

1 ∙ 2 - 5 =   - 3

Repetindo o procedimento com o - 3 , vamos multiplicar pela raiz e somar ao 8 , colocando o resultado logo abaixo do 8 . Vamos ter:

- 3 ∙ 2 + 8 = 2

E fazendo a mesma ideia de novo, completamos a última casa com:

2 ∙ 2 - 4 = 0

Opa, resto zero, quer dizer que realmente não vamos ter números pendurados e, sendo os números encontrados os coeficientes do polinômio de grau 1 unidade inferior (no caso, 2), podemos reescrever o polinômio de terceiro grau como:

x 3 - 5 x 2 + 8 x - 4 = x - 2 x 2 - 3 x + 2

Ok, mas ainda não acabou, porque o limite vai ficar reescrito para:

lim x → 2 - ⁡ x - 2 x + 2 x 3 - 5 x 2 + 8 x - 4 = lim x → 2 - ⁡ x - 2 x + 2 x - 2 x 2 - 3 x + 2

O que continua dando indeterminação. Puts, mais contas então! Nesse caso, vamos ter que pegar esse polinômio de segundo grau e simplificar ele ainda mais. Como é de segundo grau, podemos usar Bháskara! As raízes x 1,2   de:

x 2 - 3 x + 2 = a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2

Vão ser então:

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = 3 ± 9 - 4 . 2 2

x 1,2 = 3 ± 9 - 8 2 = 3 ± 1 2 = 3 ± 1 2 = 3 + 1 2 = 4 2 = 2 3 - 1 2 = 2 2 = 1

Opa, maravilha, poderemos reescrever então o polinômio como:

x 2 - 3 x + 2 = x - 2 x - 1

E o limite vai ser reescrito pela última vez para:

lim x → 2 - ⁡ x - 2 x + 2 x - 2 x 2 - 3 x + 2 = lim x → 2 - ⁡ x - 2 x + 2 x - 2 x - 2 x - 1

E agora fechamos a questão! Quer ver? Dá uma olhada:

lim x → 2 - ⁡ x - 2 x + 2 x - 2 x - 2 x - 1 = lim x → 2 - ⁡ x - 2 x + 2 x - 2 2 x - 1 = lim x → 2 - ⁡ x - 2 x + 2 x - 2 x - 1

Como:

x - 2 = x - 2                               s e     x ≥ 2

x - 2 = - x - 2                 s e     x < 2

E estamos tendendo por valores menores que 2 , vai valer o segundo caso. Ficamos com:

lim x → 2 - ⁡ x - 2 x + 2 x - 2 x - 1 = lim x → 2 - �� x - 2 x + 2 - x - 2 x - 1 = lim x → 2 - ⁡ - x + 2 x - 1

E prontinho! Indeterminação foi-se embora! Calculamos direto o limte para:

lim x → 2 - ⁡ - x + 2 x - 1 = - 2 + 2 1 = - 4

Ufa, cabamos! O limite finalmente foi encontrado e será:

lim x → 2 - ⁡ sin ⁡ x 2 - 4 x 3 - 5 x 2 + 8 x - 4 = - 4

Resposta

lim x → 2 - ⁡ sin ⁡ x 2 - 4 x 3 - 5 x 2 + 8 x - 4 = - 4

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Calcule. lim x → 0 ⁡ tg ⁡ x x
Calcule. lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x
Calcule. lim x → 0 ⁡ x - tg ⁡ x x + tg ⁡ x
Calcule. lim x → p ⁡ tg ⁡ x - p x 2 - p 2 , p ≠ 0
Calcule. lim x → p ⁡ sen ⁡ x 2 - p 2 x - p